Matematické Fórum

hawranek

Dobrý den a ahoj, potřebovala bych pomoct se seminárkou z matiky. Je zadaná fce x^2-6x+3/x-3. Zatím jsem dospěla k tomu, že...

a...

ale nevím, jak tu limitu dopočítat.... :-(

Phate · 11. 05. 2011 15:45 — Editoval Phate (11. 05. 2011 15:47)

citatel i jmenovatel rozsir o zlomek 1/nejvyssi mocnina u x ve jmenovateli, cili $\frac1{x^2}$

hawranek · 11. 05. 2011 16:05

Aha, takže

?

Vím, že jsme s tím něco takového dělali, ale krácení s x mi dělá problém. Jak se to dělá? (a prakticky jak to bude pokračovat- vím, že se musím dohrabat k číslu- pokud možno)

Rumburak · 11. 05. 2011 16:07

↑ hawranek:

Ad A.
Pokud jde o limity v odstavci A, pak jejich výsledky jsou sice dobře, ale v obou výpočtech jsou vážné chyby formální
(tj. pokud jde o způsob zápisu), takže do seminární práce je rozhodně nelze doporučit.
Například co je to $\frac {-6}{0}$ ? V reálné analýze přece delení nulou není definováno. A i kdyby definováno bylo, potom
proč je v jednom případě $\frac {-6}{0} = -\infty$ a v druhém případě $\frac {-6}{0} = +\infty$ ?
Doporučuji projít si pár vzorových případů v učebnici nebo ve skriptech a osvojit si správný způsob zápisu.

Ad B.
Takováto liimita se vypočítá tím způsobem, že zlomek za posledním znakem limity vykrátíme výrazem $x^2$ a tím ho dostaneme
do tvaru $\frac {1 - \frac{6}{x} +\frac{3}{x^2}}{1 - \frac{3}{x}}$ , z něhož je hodnota limity zřejmá (čitatel jde k 1 a jmenovatel rovněž, protože ony zlomkové výrazy,
v jejichž čitateli je konstanta a ve jmenovateli x nebo x^2, jdou k 0).

hawranek · 11. 05. 2011 16:19

↑ Rumburak:

prrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr :-D

co se týče A- ten zlomek (-6/0) má být v závorkách, ale ty tam pak dodám ručně (nějak se jim tam nechce). Jednou je to minus a podruhý plus nekonečno proto, že jde o jednostranné limity- tohle jsem dělala podle sešitu, takže výsledkama jsem si celkem jistá.

co se týče B- jdeš na mně moc rychle :-D nejsem matematik (a taky nikdy nebudu) a potřebuju všechno polopatě- chňápu tě až k tomu, že to vykrátíme x^2. Hodnota limity mi ale z toho zřejmá není :-D. Zkusim, jestli to chápu dobře: když je v čitateli číslo a ve jmenovateli x nebo jeho mocnina, tak se to rovná nule, tudíž vychází 1/1, tedy 1?

Jenda358 · 11. 05. 2011 16:28

↑ Rumburak:
Možná se mýlím, ale myslím, že ani ty výsledky prvních dvou limit nejsou dobře. Má to prohozené. První je nekonečno a druhá -nekonečno.

Phate · 11. 05. 2011 16:35

↑ Jenda358:
Ano, jsou prohozene

Rumburak · 11. 05. 2011 16:37

↑ hawranek:
Svůj názor na výpočet limit v A Ti rozhodně nechci vnucovat :-), třebaže jako matematik v tomto případě vím, co říkám.

Ad B. Tak tedy polopatě:
Když x poroste "nade všechny meze" (jak se v odborné literatuře občas opisuje to, co symbolicky vyjadřujeme znkem x ---> +oo ),
pak hodnota zlomku 1/x se bude neomezeně blížit k nule, tedy lim (1/x) = 0 . Obdobně v ostatních podobných případech.

Výpočet pak bude vypadat takto :

$\lim_{x \to \infty}\,\frac {1 - \frac{6}{x} +\frac{3}{x^2}}{1 - \frac{3}{x}} = \frac {1 - 0 +0}{1 - 0} = \frac {1}{1} = 1$ .

Všimni si, že po provedení limitní úvahy (za prvním rovnítkem) už zmizel znak limity .

hawranek · 11. 05. 2011 16:41

↑ Rumburak:

Já jen říkám, že to píšu podle toho, jak to mám v sešitě (a jak to ona bude chtít v seminárce). Teď se tady objevil názor že to mám obráceně ta nekonečna- tak nevím.

Aha, chápu, chápu...jdu počítat dál, až se za třicet sekund zase u něčeho seknu, tak to sem hodim :-D
Předem všem děkuju za pomoc- až vyrostu, chci být chytrá jako vy :-)

Rumburak · 11. 05. 2011 16:43

↑ Jenda358:
Ano, skutěčně. Já jsem zvyklý nejprve počítat limitu zprava a až potom zleva , což podvědomě (a neoprávněně) předpokládám i u druhých.
Děkuji za upozornění .

hawranek · 11. 05. 2011 16:45

↑ Rumburak:

tak mám to špatně nebo ne? :-D

Rumburak · 11. 05. 2011 16:47

↑ hawranek:

hawranek napsal(a):
↑ Rumburak:
... až vyrostu, chci být chytrá jako vy :-)

Určitě existují i lepší cíle ... :-)

hawranek · 11. 05. 2011 16:52

↑ Rumburak:

jo, být jahodou v jogobelle :-D

a jak to vyjde když x/x^2?

Rumburak · 11. 05. 2011 16:55

↑ hawranek:

V té limitě zleva záporného čitatale (-6) dělím "zápornou nulou" - tím správně dostanu "kladné nekonečno".
V té limitě zprava záporného čitatale (-6) dělím "kladnou nulou" - tím správně dostanu "záporné nekonečno".

Na první pohled jsem si chyby nevšiml (omluva).

Rumburak · 11. 05. 2011 16:57

↑ hawranek:
Stejně jako u 1/x , prototože x/x^2? = 1/x (viz krácení zlomků).

hawranek · 11. 05. 2011 18:46

kupodivu mi vyšlo vcelku rozumný číslo.....počítala jsem to dobře?

Phate · 11. 05. 2011 19:03

↑ hawranek:
Ano

hawranek · 11. 05. 2011 19:36

Další zásek :-D nevím, jak dokončit derivaci....

Phate · 11. 05. 2011 19:48

hm? Jestli hledas stacionarni body, tak poloz rovnu nule, takze spocitej diskriminant citatele

hawranek · 11. 05. 2011 22:56

↑ Phate:

hledám extrémy fce

Rumburak

↑ hawranek:

Je třeba si uvědomit, mezi kterými body má smysl extrémy hledat. Hledáme-li lokální extrémy funkce f na množině M, pak existují pouze
tři kategorie bodů, v nichž extrémů může být dosaženo::

I. Hraniční body množiny M, pokud tyto body patří do množiny M .
Příklad: Extrémy funkce f(x) := x na uzavřeném intervalu [0, 1] jsou v bodech 0 (minimum) , 1 (maximum).

II. Takové vnitřní body množiny M, v nichž funkce f nemá derivaci.
Příklad: Minimum funkce f(x) := |x| je v bodě 0 .

III. Takové vnitřní body množiny M, v nichž derivace f' funkce f existuje a přii tom je rovna 0.
Příklad: Minimum funkce f(x) := x^2 je v bodě 0 .

hawranek · 12. 05. 2011 10:51

Já už fakt nevim :-( když si to dam do online kontroly tak mi ukáže, že maximum je výsledek derivace a minimum neexistuje :-(

Jenda358

↑ hawranek:
A s čím je tedy problém? Prostě polož derivaci rovnu nule a vyřeš vzniklou rovnici. Není však těžké zjistit, že ta rovnice nemá v R řešení, takže nejsou ani extrémy (další možnosti, které popsal ↑ Rumburak: také nepřipadají v úvahu).

Rumburak

↑ hawranek:
Snaž se především využít teorii a uplatnit vlastní úsudek. Přečti si znovu příspěvek ↑ Rumburak: a potom najdi

- všechny body, které patří do kategorie I ,
- všechny body, které patří do kategorie II ,
- všechny body, které patří do kategorie III .

Co dostaneme ?

Ještě poznamenejme:

O množině M z předchozího příspěvku obecně předpokládáme, že je částí definičního oboru funkce f, to jen tak pro upřesnění.
Není-li v úloze množina M výslovně specifikována (tak je tomu i v našem případě), bereme za ni celý definiční obor funkce f,
což je množina R - {3} = (-oo, 3 ) U (3, +oo) , jak jsi správně zjistila (doufám, že nikoliv stroj).

Pusť se systematicky do toho podle mého návodu a hlavně se toho neboj, není to těžké.

hawranek · 12. 05. 2011 12:25

Ahaaa, už jsem pochopila co mi chcete říct :-D vypočítala jsem diskriminant z čitatele a vyšlo mi -24, což nejde odmocnit, tudíž rovnice nemá v R řešení a fce extrémy....

Matematické Fórum

#1 11. 05. 2011 15:32 — Editoval hawranek (11. 05. 2011 15:33)

Seminární práce- vyšetření průběhu funkce

#2 11. 05. 2011 15:45 — Editoval Phate (11. 05. 2011 15:47)

Re: Seminární práce- vyšetření průběhu funkce

#3 11. 05. 2011 16:05

Re: Seminární práce- vyšetření průběhu funkce

#4 11. 05. 2011 16:07

Re: Seminární práce- vyšetření průběhu funkce

#5 11. 05. 2011 16:19

Re: Seminární práce- vyšetření průběhu funkce

#6 11. 05. 2011 16:28

Re: Seminární práce- vyšetření průběhu funkce

#7 11. 05. 2011 16:35

Re: Seminární práce- vyšetření průběhu funkce

#8 11. 05. 2011 16:37

Re: Seminární práce- vyšetření průběhu funkce

#9 11. 05. 2011 16:41

Re: Seminární práce- vyšetření průběhu funkce

#10 11. 05. 2011 16:43

Re: Seminární práce- vyšetření průběhu funkce

#11 11. 05. 2011 16:45

Re: Seminární práce- vyšetření průběhu funkce

#12 11. 05. 2011 16:47

Re: Seminární práce- vyšetření průběhu funkce

hawranek napsal(a):

#13 11. 05. 2011 16:52

Re: Seminární práce- vyšetření průběhu funkce

#14 11. 05. 2011 16:55

Re: Seminární práce- vyšetření průběhu funkce

#15 11. 05. 2011 16:57

Re: Seminární práce- vyšetření průběhu funkce

#16 11. 05. 2011 18:46

Re: Seminární práce- vyšetření průběhu funkce

#17 11. 05. 2011 19:03

Re: Seminární práce- vyšetření průběhu funkce

#18 11. 05. 2011 19:36

Re: Seminární práce- vyšetření průběhu funkce

#19 11. 05. 2011 19:48

Re: Seminární práce- vyšetření průběhu funkce

#20 11. 05. 2011 22:56

Re: Seminární práce- vyšetření průběhu funkce

#21 12. 05. 2011 09:29 — Editoval Rumburak (12. 05. 2011 09:31)

Re: Seminární práce- vyšetření průběhu funkce

#22 12. 05. 2011 10:51

Re: Seminární práce- vyšetření průběhu funkce

#23 12. 05. 2011 11:25 — Editoval Jenda358 (12. 05. 2011 11:31)

Re: Seminární práce- vyšetření průběhu funkce

#24 12. 05. 2011 11:33 — Editoval Rumburak (12. 05. 2011 11:34)

Re: Seminární práce- vyšetření průběhu funkce

#25 12. 05. 2011 12:25

Re: Seminární práce- vyšetření průběhu funkce

Zápatí