Matematické Fórum

Měsíček · 11. 05. 2011 16:12

Pěkný den,
jak, prosím, co nejelegantněji dokázat následující:

$sin^2x - sin^2y = sin(x+y)sin(x-y)$ , nebo jinými slovy jak se dostat z tohoto výrazu $sin^2x - sin^2y$ k nějákému součinovému tvaru?

Děkuji za vaši pomoc!

Pavel · 11. 05. 2011 16:18

↑ Měsíček:

Použij součtové vzorce, tj.

$\sin(x\pm y)=\sin x\cos y\pm\sin y\cos x$

Pak vzorec

$(a-b)(a+b)=a^2-b^2.$

Pak už to půjde samo, stačí si jen vyjádřit vše pomocí funkce sinus.

Měsíček

Problémem je, že já nedovedu ze vzorce $sin^2x - sin^2y$ stvořit tento vzorec $sin(x+y)sin(x-y)$ - zpět to ale dokážu:

$\color{red}sin(x+y)sin(x-y)\color{black}=(sinxcosy+sinycosx)(sinxcosy-sinycosx)=\nl=sin^2xcos^2y-sin^2ycos^2x=sin^2x(1-sin^2y)-sin^2y(1-sin^2x)=\nl=sin^2x-sin^2xsin^2y-sin^2y+sin^2xsin^2y=\color{red}sin^2x-sin^2y$

Pavel · 11. 05. 2011 20:48

↑ Měsíček:

Pokud chceš začít výrazem $sin^2x - sin^2y$ , tak postupuj od konce. V čem je problém?

Měsíček · 11. 05. 2011 21:04

No, to mě taky napadlo, ovšem něják nevím, jak bych se mohl ze $sin^2x-sin^2y$ dostat k $sin^2x-sin^2xsin^2y-sin^2y+sin^2xsin^2y$ ; asi je to primitivní a mně už to dneska něják nemyslí...

Dana1 · 11. 05. 2011 21:29

↑ Měsíček:

Odrátaš a prirátaš rovnaký člen...

Měsíček · 11. 05. 2011 21:33

Ano, a kdybych měl pouze tu základní rovnici, jak vím, že mám přidat a odebrat právě tyto členy (tedy $sin^2xsin^2y-sin^2xsin^2y$ )?

Matematické Fórum

#1 11. 05. 2011 16:12

Dokázání rovnice

#2 11. 05. 2011 16:18

Re: Dokázání rovnice

#3 11. 05. 2011 16:51 — Editoval Měsíček (11. 05. 2011 17:05)

Re: Dokázání rovnice

#4 11. 05. 2011 20:48

Re: Dokázání rovnice

#5 11. 05. 2011 21:04

Re: Dokázání rovnice

#6 11. 05. 2011 21:29

Re: Dokázání rovnice

#7 11. 05. 2011 21:33

Re: Dokázání rovnice

Zápatí