Matematické Fórum

Skrytý text:
Ahoj, Tondo, je to samozřejmě správně, i když píšeš místy až moc lakonicky. Já bych některé kroky trošičku občas rozepsal víc. No ale to je fuk. Já mám trochu jiné řešení, a tak se o něj chci podělit. Jednak v pravoúhlých trojúhelnících ABL a ABK jsou D a C paty výšek. Podle Euklidovy věty o odvěsně platí: AB^2 = AD*AL, ale také AB^2 = AC*AM, odkud máme AD * AL = AC * AK, odkud podle obrácené věty o mocnosti bodu ke kružnici vidíme, že čtyřúhelník CDLK je tětivový. Jeho střed kružnice opsané (označme ho R) bude ležet někde na ose úsečky CD, což je ale současně osa úsečky AB. Nechť S je střed úsečky AB. Pak tedy máme AS = BS, SR = SR, úhly ASR = BSR => shodnost trojúhelníků ASR a BSR => AR = BR => body A, B mají stejnou mocnost bodu ke kružnici opsané čytřúhelníku CDLM => AB^2 = AC * CK = BL * BK. Je zřejmé, že BL * BK = BT^2, takže po srovnání s předchozí rovností máme  AB^2 = BT^2. Osa úhlu protíná kružnici k ze zadání v půlce oblouku CD. Vyplývá to např. z toho, že střed oblouku je Švrčkovým bodem Š trojúhelníku ACD, který skutečně leží na ose úhlu dle zadání. Protože je to Švrčkův bod, leží i na ose úsečky CD, což je ale i osa úsečky AB, takže je zřejmé, že AR je kolmá na ŠR. Protože AR a ŠR jsou poloměry stejné kružnice, tak navíc ARŠ je rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník. BAC = RAŠ, ABM = ARŠ, takže trojúhelníky ARŠ a ABM jsou podobné (navíc stejnolehlé, ale to je už jedno), a proto pokud AR = RŠ, tak také AB = AM. Máme tedy BT = AB = AM, takže trojúhelník BMT je skutečně rovnoramenný a tím je tvrzení dokázáno.