Matematické Fórum

ravien · 12. 05. 2011 20:46

Ahoj, potrebovala bych poradit, jak resit tuto soustavy, ktera vznikla pouzitim vety o L. multiplikatorech, uz asi 2 hodiny na to koukam a nemuzu se niceho dopocitat.

Mam 5 rovnic o 5 neznamych

1 +2ax +3bx^2 = 0
2ay + 3by^2 = 0
2az + 3bz^2 = 0
x^2 + y^2 + z^2 = 1
x^3 +y^3 + z^3 = 0

kde (x,y,z) je bod podezrely z extremu a a,b jsou Langrang. multiplikatory.

Tato soustava by mela mit nejake reseni, prvni moznost, kdy radky matice prvnich parcialnich derivaci jsou linearne zavisle, tak z toho mi nevzniklo zadne reseni.

Budu rada, za kazdou radu, nemusite to dopocitavat, staci poradit jak jenom zacit resit.

Diky moc

jelena · 12. 05. 2011 23:05

Zdravím,

když jsem to zadala do stroje, tak výsledek nevypadá zrovna nejlépe.

Jinak z toho, co máš:

1 +2ax +3bx^2 = 0 - tato rovnice je kvadratická vzhledem k x (tedy dálo by se vyjádřit 2 zápisy pro x)
2ay + 3by^2 = 0 - lze vytknou y a jeden kořen je y=0, druhý kořen "ze závorky"
2az + 3bz^2 = 0 - stejné, jako pro předchozí rovnici.

Možná by pomohlo, kdybys uvedla původní zadání.

ravien · 12. 05. 2011 23:19

↑ jelena:

Zadani prikladu zni
Najdete globalni extremy funkce f(x,y,z) = x na mnozine M={(x,y,z): x^2 + y^2 + z^2 <= 1 & x^3 +y^3 + z^3=0} M je omezena a uzavrena, f spojita na M, takze existuje minimum i maximum na M
Tuhle mnozinu jsem si rozdelila na dve M1 - plati pro obe podminky rovnost, a M2 plati ostra nerovnost pro prvni, rovnost pro druhou.
Potom na M1 a M2 pouziju vetu o L. multiplikatorech, pro M1 mam, ze G=x^2 + y^2 + z^2 <1, a vazebni podminka g= x^3 +y^3 + z^3=0.
Pro M2 mam G=R3 a dve vazebni podminky g1: x^2 + y^2 + z^2 - 1 = 0 a g2: x^3 +y^3 + z^3=0. Pro M1 i M2 jsem pouzila vetu o L. mult., nejdrive jsem sestavila matici prvnich parcialnich derivaci g, vysetrila pro jake vektory ma matice linearne zavisle radky, pote jsem hledala pro kazdou mnozinu stacionarni body Lagrangova polynomu: f+ lambda1*g1 + lambda2*g2 + ......
Z toho vzniknou ty soustavy.

Tato soustava mi vysla pro druhou mnozinu.

jelena · 12. 05. 2011 23:55

↑ ravien:

Děkuji, sestavení se mi zdá v pořádku.

Pro kořeny $y=0$ (nebo pro $z=0$ ) by neměl být problém najít zbývající hodnoty x, z (nebo x, y). Buď dosazováním do posledních 2 rovnic, nebo si představíš, že jsou to body na sféře o poloměru r=1 a počítané souřadnice tvoří rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník.

Mělo by to vycházet ve shodě s odpovídajícími řádky z Wolfram.

Pro kořeny $y=-\frac{2a}{3b}$ (a podobně pro $z=-\frac{2a}{3b}$ ) mně nic jiného nenapadá, než dosazování.

Snad se přidá i někdo z kolegů, zda by nešlo řešit pohodlněj. Děkuji.

Matematické Fórum

#1 12. 05. 2011 20:46

Lagrangeovy multiplikatory - vznikla soustava rovnic

#2 12. 05. 2011 23:05

Re: Lagrangeovy multiplikatory - vznikla soustava rovnic

#3 12. 05. 2011 23:19

Re: Lagrangeovy multiplikatory - vznikla soustava rovnic

#4 12. 05. 2011 23:55

Re: Lagrangeovy multiplikatory - vznikla soustava rovnic

Zápatí