Matematické Fórum

harryharry · 13. 05. 2011 11:40

Dobrý den,

Potřebuji si ověřit, zda jsem pochopil látku - nemám učebnice a na internetu nemohu najít pořádný zdroj.

1) kvadratická funkce - vypočítám si kořeny pomocí diskriminantu, tím získám průsečíky s osou x, v zjistím si střed dvou průsečíků a dosadím do rovnice - tím získám y souřadnici vrcholu. Nejde to jednodušeji?

2) lineární lomená funkce - upravím si na tvar y=c + 1/x; nejlépe vydělením dvou mnohočlenů např. (2x-1):(x+1), nulový bod jmenovatele je zároveň X souřadnice středu hyperboly. Znaménko před zlomkem určuje ve kterých kvadrantech bude graf.

3) Mocniná funkce - lichý exponent - lichá funkce a naopak. Poloha středu/vrcholu závisí na dalším čísle. x2 - 1 je posunut pod osu x; (x-1)2 je posunut doleva od osy y.

3) Exponenciální funkce - graf 2^(x+1) bude posunut doprava od osy y. Jak bude vypadat graf -2^(x)

4) Log. funkce - inverzní k funkci exponenciální, prochází bodem 1 na ose x. Graf funkce log(x+1) bude procházet bodem 0 na ose x

Děkuji

easy · 13. 05. 2011 11:51 — Editoval easy (13. 05. 2011 11:53)

Zdravím,

1) Hledání vrcholu by se dalo zkrátit přes derivace. Nicméně pokud už máš spočítané průsečíky s x-ovou osou tak je jednodušší použít symetrii, tak jak píšeš.

Ohledně zbytku, většinou vlastně řešíš různé verze transformace základních funkcí. Pokud víš, že $f(x+a)$ posouvá graf funkce $f(x)$ doleva $a$ jednotek. Podobný postup je potom pro $f(ax +b) +c$ kde máš posun po x a y ose ještě spojené s horizontálním roztažením.

Jenda358

↑ harryharry:
1) No asi nejrychlejší je tu funkci zderivovat a položit rovnu nule. Kořenem té rovnice bude x-ová souřadnice vrcholu. Y-ovou zjistíš dosazením do původní fce. Tato metoda se vyplatí pokud ještě neznáš průsečíky s osou x.

Dana1 · 13. 05. 2011 11:55

↑ harryharry:

Myslím, že toto je celkom dobrý materiál, aj keď Tebe ide asi o kontrolu Tvojich úvah...

OiBobik

↑ harryharry:

Ad kvadratická funkce - takový postup se obecně nemusí povést - kvadratická rovnice nemusí mít žádný kořen a co pak.

(Jak vidím, že mezitím ostatní napsali, derivace určitě také pomůže, ale jde to snadno i takto):

Na příkladě: Zakresli graf funkce $f(x)=x^2+x+5$
Použijeme tzv úpravu na čtverec:

$f(x)=x^2+x+1=\left( x^2+2\cdot\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right)-\left(\frac{1}{2}\right)^2+5=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{19}{4}$

Odtud vidím, že minimální hodnoty funkce nabývá pro $x=-\frac{1}{2}$ - vrchol paraboly tedy bude $\left[-\frac{1}{2}, \frac{19}{4} \right]$

____________________________________________________________________________________________________________________

Ad exponenciální funkce: Pro -2 jako základ (a obecně pro záporná čísla jako základ) se exponenciální funkce nedefinuje. (mocnina záporného čísla má smysl jen pro celočíselné exponenty)

harryharry · 13. 05. 2011 12:00

1) rovnice y=x2 - 6x + 6 ; y'= 2x -6 => X[3;0]. Je to tak? Děkuju, to se bude hodit.

Myslím, že už chápu. Jen bych prosil o graf exp. fce "y=-2^(x)" a dále jestli mám správně řešení lomené funkce.

harryharry · 13. 05. 2011 12:05

↑ OiBobik:

Ano, napadlo mne, že v případě záporného diskriminantu bych vrchol nedostal. Úprava na čtverec je zajímavá, ale myslím, že budu derivovat.

Phate · 13. 05. 2011 12:10

↑ harryharry:
Ne, tu trojku dosazujes do puvodni rovnice ne do derivace

OiBobik · 13. 05. 2011 12:21

↑ harryharry:

Jo myslíš funkci $f(x)=-2^x$ , nebo funkci $f(x)=(-2)^x$ ?

Ta první je jenom funkce 2^x otočená podle x-osy, ta druhá se nedefinuje, jak jsem psal výše.

harryharry · 13. 05. 2011 12:32

Děkuji všem. Myslím, že teď už grafy funkcí chápu.

Dana1 : Bohužel, k dokumentu nemám přístup.

Jenda358

↑ harryharry:
To zprůměrování kořenů se po jisté úpravě dá použít i se záporným diskriminantem. Dejme tomu, že máme funkci $y = x^2 - 6x + 10$ . Tá má záporný diskriminant. Nicméně pokud bychom tu parabolu posunuli "dolů" podle osy y, x-ová souřadnice vrcholu by se nezměnila. Proto stačí sestrojit novou funkci, která by se od té staré lišila pouze o konstantu. Místo $y = x^2 - 6x + 10$ zavedu třeba $y=x^2 - 6x +8$ .
Tato funkce protíná osu x v bodech o souřadnicích [2;0] a [4;0]. Vrchol nové i původní fce má tedy x-ovou souřadnici 3.
To však berte jen jako zajímavost, protože v praxi to není moc efektivní.

OiBobik · 13. 05. 2011 13:47

↑ Jenda358:

To určitě jde, ale

1) musíš nějak rozumně odhadnout, o kolik posunout dolů (to by mělo jít podle velikosti diskriminantu)

2) v takovém případě by bylo možná už lepší pousouvat ne tak, aby diskriminant byl kladný, nýbrž aby zkrátka byl nulový, a řešení takové kvadratické rovnice nám dá přímo x-ovou souřadnici vrcholu (přičemž není o moc těžší určit, o kolik posunout dolů pro nulový diskriminant, než odhadnout, o kolik posunout dolů - kvadratický výraz zkrátka před výpočtem diskriminantu "znormujeme" a pak stačí k pův. fci zřejmě přičíst konstantu D/4) - pokud bych si jen tak od boku tipl konstantu na odečtení, prosím, ale mimo jiné budu muset počítat třeba i dost ošklivé kořeny jsn proto, abych je zprůměroval.

3) když si to pořádně rozmyslíš ten postup, kdy diskriminant ne zvyšuju na kladný, ale nuluju, tak takto to řešit vlastně znamená doplnění na čtverec, akorát se tomu jinak říká a jinak značí písmenkama : ))

Moabiter

Pro mě nejrychlejší postup pro výpočet x-ové souřadnice vrcholu je vzorec $V_x=\frac{-b}{2a}$ Je to odvozené právě z toho zprůměrování kořenů. Vtip je v tom, že se diskriminant ani nemusí počítat.

ad 3) Exponenciální funkce - graf 2^(x+1) bude posunut doleva od osy y. Co se týče $-2^x$ pokud je to napsané takhle tak bude převrácený podle osy x. jestli jsi, ale náhodou myslel $(-2)^x$ tak tam to není definováno, protože $http://upload.wikimedia.org/math/a/a/9/aa9ba36c8212c53f4ec97cfdb0af9498.png$

Jenda358 · 13. 05. 2011 14:58

↑ OiBobik:
Souhlasím.

Matematické Fórum

#1 13. 05. 2011 11:40

Teorie - funkce - vlastnosti - grafy

#2 13. 05. 2011 11:51 — Editoval easy (13. 05. 2011 11:53)

Re: Teorie - funkce - vlastnosti - grafy

#3 13. 05. 2011 11:51 — Editoval Jenda358 (13. 05. 2011 11:52)

Re: Teorie - funkce - vlastnosti - grafy

#4 13. 05. 2011 11:55

Re: Teorie - funkce - vlastnosti - grafy

#5 13. 05. 2011 11:59 — Editoval OiBobik (13. 05. 2011 12:04)

Re: Teorie - funkce - vlastnosti - grafy

#6 13. 05. 2011 12:00

Re: Teorie - funkce - vlastnosti - grafy

#7 13. 05. 2011 12:05

Re: Teorie - funkce - vlastnosti - grafy

#8 13. 05. 2011 12:10

Re: Teorie - funkce - vlastnosti - grafy

#9 13. 05. 2011 12:21

Re: Teorie - funkce - vlastnosti - grafy

#10 13. 05. 2011 12:32

Re: Teorie - funkce - vlastnosti - grafy

#11 13. 05. 2011 12:34 — Editoval Jenda358 (13. 05. 2011 12:37)

Re: Teorie - funkce - vlastnosti - grafy

#12 13. 05. 2011 13:47

Re: Teorie - funkce - vlastnosti - grafy

#13 13. 05. 2011 14:22 — Editoval Moabiter (13. 05. 2011 14:43)

Re: Teorie - funkce - vlastnosti - grafy

#14 13. 05. 2011 14:58

Re: Teorie - funkce - vlastnosti - grafy

Zápatí