Matematické Fórum

↑ phate69:

Dobrý den,

než to tady vysvětlovat ve zkratce, lépe snad odkázat na materiály (skripta pana Olšáka). Tyto pojmy jsou vysvětleny i s příklady téměř v úvodu (co jsem se tak díval, někde od strany 18). Když poté budete mít nějaké konkrétnější dotazy, jistě vám zde budou zodpovězeny. Také lze zkusit projít fórum (vyhledávání) a podívat se na již vyřešené příklady, tento typ příkladů se zde řeší téměř pořád.

↑ phate69:
Prostor nemusí být nutně trojrozměrný, ačkoli obsahuje vektory se třemi složkami. Představ si třeba prostor generovaný vektorem (1,0,0) - tedy takový prostor, že obsahuje právě všechny reálné násobky tohoto vektoru (tj. žádný násobek nechybí, a naopak tam není vektor, který by nějakým násobkem toho vektoru nebyl). Takovém prostoru by se říkalo lineární obal vektoru (1,0,0), psáno většinou nebo .

Když si ho představíš, dojdeš nutně k závěru, že je to vlastně nějaká přímka, a abys nějaký "bod" na ní popsal, stačí ti jedno jediné číslo - příslušný násobek toho vektoru (1,0,0). Proto je dimenze prostoru pouze 1. Proto je ((1,0,0)) zároveň bází toho prostoru, a to číslo, kterým musíš (1,0,0) vynásobit, abys dostal ten popisovaný vektor u, je "souřadnice vektoru u v bázi (1,0,0)" . No jo, ale klidně můžeš vzít třeba vektor (2,0,0), a používat ho jako referenční, v tom ti nikdo nemůže zabránit - opět se dostaneš ke všem vektorům v tom prostoru, takže ((2,0,0)) je taky báze, akorát souřadnice všech vektorů v této bázi ((2,0,0)) budou proti té bázi ((1,0,0)) poloviční.


Pokud máš dva LN vektory z R3, pak podobným způsobem popisují už ne přímku, ale celou rovinu. A podobným způsobem si můžeš představit, že k popisu nějakého bodu v rovině potřebuješ 2 čísla (dimenze je tedy 2), a dva nějaké referenční vektory, které nemají stejný směr. Pak jedním tím číslem vynásobíš jeden, druhý druhým, výsledky sečteš - a dostaneš se do jakéhokoli bodu roviny. Stejně jako u té přímky.

Když se nad tím zamyslíš, tak jistě i pochopíš, že při tom zjišťování LN/LZ nezjišťujeme nic jiného, než jestli se posčítáním nějakých nenulových násobků těch vektorů dostaneme na nulu - pak je tam určitě nějaký navíc (např. jeden vektor leží v rovině, kterou už ale popsaly ty dva předchozí).

Dává to pro tu hrubou představu nějaký smysl?

Edit: pokud jde o řešení těch příkladů, tak to je pak do jisté míry opravdu velice mechanické, jak píše kolega nade mnou, a v tom jsem se tu rejpat nechtěl. Chtěl jsem to všechno jen nějak přepsat do normální řeči, nevím jak se mi to povedlo.

↑ phate69:

Báze je maximální množina lineárně nezávislých vektorů, které se všechny vyskytují v daném podprostoru. Počet vektorů v bázi je roven dimenzi daného vektorového (pod)prostoru.

↑ OiBobik:Asi Vám musím připadat opravdu natvrdlej, ale četl jsem si Váš příspěvek asi 5x a stejně mám jen vágní představu o tom, co jste mi napsal. Ale i tak děkuji za snahu :-)


↑ LukasM:Myslím, že už to pomalu chápu. Čili vezmeme-li že osy x,y,z jsou dány vektory i,j,k, můžeme říct, že každý vektor, který v prostoru je, je zkonstruován z vektorů i,j,k. Přeju-li si "sklopit vektor vlevo dolů", např. "uberu" něco z i, a přidám něco k j. Pracuji se třemi vektory, jedná se tedy o dimenzi 3.

2. bod příliš nechápu. Chápu, že pokud chci dostat kombinaci vektorů (které mají jiný směr, nikoli opačný), musím je vynásobit 0, abych dostal alespoň nějakou kombinaci - tedy "nulovou", tedy triviální.

Vezmu-li to pragmaticky, když u zápočtu dostanu otázku určete bázi a dimenzi vektorů, jak bude vypadat algoritmus?

1) dosadím vektory do matice
2) dopočítám x,y,z - vyjde-li (0,0,0), jsou lin. nezávislé, vyjde-li 0=0, jsou lin. závislé, vyjde-li (2,3,4), jsou lin. nezávislé

Tady končím, co dál?

↑ phate69:
Myslíš bázi a dimenzi vektorového prostoru? Vektory žádnou bázi nemají.

Trochu nejdřív popřemýšlej o všem co jsme tu napsali, a přečti si všechny definice ze skript. "Dosadím vektory do matice" ukazuje na to, že nejspíš úplně nerozumíš proč. Ta matice reprezentuje nějakou soustavu rovnic - právě tu, kde se ptáme "Jak z těch vektorů udělám nulovej?"

Ani ten rozbor těch výsledků ve tvém druhém bodě mi není úplně jasný (třeba ten případ 0=0.. proč bych měl řešit nějakou soustavu, abych na to přišel?), ale to teď nebudu řešit. Zkus to celé nechat trochu uležet, ať ti dojdou ty souvislosti. Taky si přečti tohle vlákno, psát to tu znova už neplánuju.

↑ LukasM:Děkuji, pročtu. Ne, já rozumím proč to dělám, chci vyřešit soustavu. Ano, měl jsem na mysli vektorový prostor.

↑ LukasM:Dám si sváču a jdu na to :-) Moc díky. Sice pořád nevím jak se doberu k výsledkům, ale už aspoň vím jak si představit dimenzi.