Matematické Fórum

halogan · 14. 05. 2011 21:14

Dobrý podvečer přeji,

mám jednoduchou rovnici:

$x y' + y' = xy \log y$ ,

kterou si upravím

$y'= \frac{xy \log y}{1+x}$

s tím, že v x = -1 to budu řešit posléze. Řeším tedy pro $y \in (0, \infty), x \in (-\infty,-1), (-1, \infty)$ .

Maximální stacionární řešení je y(x) = 1 pro x z R.

Postupně se dostanu k

$\log |\log y| = x - \log |1 + x| + C$ ,

kde mi trochu překážejí absolutní hodnoty. Díky nutnosti kladného y se dostávám až k

$y = C_2 \text{exp}$\frac{\text{exp}(x)}{|1+x|}$$ , kde ta konstanta je kladná.

A dostávám se k otázkám:

1) Poradil jsem si s absolutními hodnotami správně?

2) Co s x = -1?

3) Ještě něco mi uniklo?

Díky.

---

MAW jsem zkoušel, ale zasekl se dříve než bych chtěl.

---

Moje hypotéza k 2):

Jelikož pro x = -1 musí být y = 1, bude tento bod [-1,1] asi lepící mezi partikulárními a stac. řešeními. Předpokládám, že buďto slepím dvě partikulární v jedno větší, nebo jedno se stacionárním (zleva a zprava).

Moje druhá hypotéza k 2):

Pro y = 1 musí platit

$\log \frac{1}{C_2} |x + 1|= \text{exp}{x}$ ,

což pro 0 < C_2 < 1 bude mít vždy dvě řešení, kde by se dalo taky lepit na stacionární řešení.

jarrro · 14. 05. 2011 21:50

pre x=-1 nemá úloha zmysel

Pavel Brožek

↑ halogan:

Ahoj,

máš tam asi chybu v té konstantě. Vzhledem k tomu, že ji označuješ $C_2$ , tak bych hádal, že s $C_1$ jsi to měl takto:

$y = \text{exp}$C_1\frac{\text{exp}(x)}{|1+x|}$$

To ale není to samé jako to s tou $C_2$ (na jednodušším příkladu: neexistuje konstanta taková, že $C\mathrm{e}^x=\mathrm{e}^{2x}$ ).