Matematické Fórum

Zdravim,
potrebuju poradit se seminarni praci, byla mi vracena k opraveni a nevim si s tim rady uz, nejak se v tom ztracim. Jedná se o průběh funkce f(x)=\sqrt{1-\cos x}

1. derivace mi vyšla:

\frac{/sin x}{2 * \sqrt{1-\cos x}}

z toho jsem si urcila lokalni extremy x = (2k + 1) * \pi
lokální maximum v bodech A = ((2k + 1) * \pi, \sqrt2)
lokální minimum udajně má být pro 2k\pi, ale jak to zjistím?

dále mam problém s určením klesající funkce z 1. derivace

ale hlavně mi nevyšla vůbec 2. derivace

Prosím poradte, moc dekuji

Zdravim po delssi dobe ;)

Roberte, mam pocit, ze ne vsichni jsou tak neduverivi vuci "pocitacim strojum" jako Ty. Znam studentku nejmenovane vysoke skoly, co kratila zlomek na kalkulacce, pricemz natukala 12*24 a napsala vysledek 288 a kdyz ucitel oponoval, ze to asi nema dobre, rozkrikla se na nej, ze teda ma, protoze ji to vyslo na kalkulacce :)))

Ale to bylo jen tak pro odlehceni ;)

Prosim muze mi nekdo zkontrolovat postup, pripadne opravit chyby? dekuji moc

f(x) = x^2/ lnx

1. Definicni obor : ln≠0 z toho vyplyva x≠1 D(f) (0,1) sjednoceno s (1,∞)
2. Nulove body a body nespojitosti: nul bod: x^2/ lnx=0 plati pro x=0             taky si nejsem jista ma fce nul bod a je to x=0?
                                                    bod nespojitosti: lnx=0 plati pro x=1 toto je bod nespojitosti
3. sudost, lichost, periodicita fce:
suda, musi platiti f(x)=f(-x) overime napr pro x=1     f(x)        x^2/ lnx= 1^2/ ln1 = 0
                                                                             f(-x)       x^2/ lnx=( -1)^2/ ln(-1) =neex. fce tedy neni suda
licha, musi platit   f(-x)=- f(x)                                   f(-x)      x^2/ lnx=( -1)^2/ ln(-1) =neex
                                                                              -f(x)      x^2/ lnx= - (1^2/ ln1) = 0          fce tedy neni ani licha
funkce neni ani periodicka

4. asymptoty funkce, limity
lim pro x→ 1- =  x^2/ lnx = 1/0- = -∞
lim pro x→ 1+ =  x^2/ lnx = 1/0+= +∞     ve vlastnim bode je nevlastni limita tedy plati  asymptota svisla: asymtota bez smernice je primka x=1

lim pro x→ +∞ =  x^2/ lnx = ∞/∞= pouzijeme l´hospitalovo pravidlo fce pak vypada 2x/(1/x) = 2x^2 = +∞              ale zde nevim jaka je rovnice asymptoty? je nejaka a jak se to spocte?
lim pro x→ 0+ =  x^2/ lnx = 0/-∞=0                                      zde take nevim zda je rce asympoty a jaka?

5. prvni  derivace fce ma tvar uz finalne upraveny: x(2ln(x) -1)/ ln(x)^2       hledam bod podezdrely z extremu a intervaly monotonosti :    2ln(x)-1=0 z toho vyplyva po upravach ln(x)=1/2 ,
x = e^(1/2)
mam tedy tri intervaly (0,1) zde vyjde fukce po dosazeni cisla z intervalu do derivace zaporne, tedy fce klesa
                                 ( 1, e^(1/2)) zde funkce je take zaporna a tedy klesa
                                 ( e^(1/2), +∞ ) zde funkce je kladna a roste
v bode e^(1/2) je tedy lokalni minimum funkce

6. druha derivace fukce ma po upravach tvar:  2*ln(x)^2 - 3ln(x) + 2 / (ln(x)^3)         funkci si upravim na : lnx(2lnx-3)+2 / (ln(x)^3)

bod podezdrely z inflexe zjistim takto: 2lnx-3 =0 to plati pro e^(3/2)            zvolim si tyto intrvaly
(0,1),(1,e^(3/2) ) a (e^(3/2) , +∞) budu na techto intervalech zkoumat tyto casti citatele: lnx zvlast a pote zvlast (2lnx-3)             delam to spravne??

pro lnx :                                                                      pro (2lnx-3)
(0,1)                        minus klesa                                        minus klesa                                finalne tedy + fukce je zde konvexni
(1,e^(3/2) )              plus roste                                           minus klesa                                finalne tydy - funkce je konkavni
(e^(3/2), +∞)           plus roste                                            plus roste                                     finalne tedy + funkce je konvexni

v bode (e^(3/2)  funkce prechazi z konkavni na konvexni a mohlo by se jednat o inflexni bod, nicmeni kdyz bod (e^(3/2) dosadim do druhe derivace funce (2*ln(x)^2 - 3ln(x) + 2 / (ln(x)^3)) nevyjde mi nula, ale cislo ruzne od nuly. TENTO bod tedy neni inflexni, je to TAK?? a funkce nema zadny inflexni bod.

dekuji moc za radu

Ahoj Jeleno, ci ostatni
ad2) prosim te bod nespojitosti je podle me  x=1 ne x=-1 alespon myslim? neni to preklep?.
ad4) staci tedy ty ctyri vypoctene limity  + komentar k svisle asymptote u zbylych dvou limit staci napsat, ze tedy asymptota neni, je to tak?

ad 6) moc tomu nerozumim s tim inflexnim bodem
Mam tedy 2 derivaci  2*ln(x)^2 - 3ln(x) + 2 / (ln(x)^3)

a mym ukolem je nalezt inflexni bod z druhe derivace a podle nej pote rozdelit funkci do intervalu.
Jestli te chapu spravne, tak mam vzit cely citatel (kde udelam subtituci) - bude tedy vypadat takto: 2a^2 - 3a +2 = 0 z toho pres diskriminant zjistim ze D=(3+-sqrt(9-16))4, vyraz pod odmocninou je zaporny, coz znamena ze jej nelze vypocitat. Takze tim padem cely D nelze vypocitat a dosadit zpet do subsituce. Z toho si mam tedy vyvodit (takto mam tedy uvest) ze neexistuje inflexni bod?? Nejak tvemu vysvetleni ohledne hledani iflexniho bodu nerozumim...

Pokdu by to co pisu tedy vyse znamenalo, ze tim padem neexistuje inflexni bod ,musim vzit tedy intervaly z def. oboru (0,1) a (1,+ oo) a u druhe derivace bych si tedy udelala tuto tabulku zvlast pro citatel a zvlast pro jemnovatel:
                                              (0,1)              (1, + oo)
2*ln(x)^2 - 3ln(x) + 2             +                        +
(ln(x)^3)                                -                        +

tedy finalne                             - konkavni        + konvexni            tedy fukce je na intervalu (0,1) konkavni a na intervalu (1,+ oo) konvexni, jak uvadis, pochopila jsem ten postup spravne?

diky za odpoved