Matematické Fórum

Bawler · 17. 05. 2011 08:08

Zdravím... Je dán tento příklad:

Původně jsem chtěl ty úhly normálně posčítat a poodečítat, ale kazí mi to tam to mínus. Co to mínus vlastně určuje? Určuje to kvadrant na jednotkové kružnici? (cos kladný, sinus záporný => 4. kvadrant)? Nikdy jsem takový typ příkladu nepočítal, tak bych byl rád za nějakou radu, která by mě nakopla.

Rumburak

Ano, to "minus" to tam kazí, takže bezprostředně použít Moivreovu větu nelze.
Musíme výraz nejprve upravit tak, aby se "minus" změnilo na "plus":

$\cos \alpha - \mathrm{i}\sin \alpha = \cos (-\alpha) + \mathrm{i}\sin (-\alpha) = \cos (2\pi-\alpha) + \mathrm{i}\sin (2\pi-\alpha)$ .

(Ta poslední úprava je tam pro případ, když by bylo $\alpha \in (0,\,2\pi)$ a chtěli bychom, aby v tomtéž intervalu bylo $2\pi-\alpha$ .)

Bawler · 17. 05. 2011 09:53

Proč jsme upravili obojí?

Rumburak · 17. 05. 2011 09:57

Protože při používání Moivreovy věty potřebujeme, aby ve výrazech tvaru $\cos \varphi + \mathrm{i}\sin \psi$ bylo vždy $\varphi = \psi$ .

Bawler · 17. 05. 2011 10:13

Jo táááák, a my vlastně hledáme kvadrant, kde je sinus záporný a cos kladný, což je 4. kvadrant. A když máme např 30° v prvním. Tak to má stejné hodnoty jako 360-30, jen to má jiné znaménka. Kdyby tam byl -cos a + sin. Tak by to bylo 180-alfa. Říkám to dobře?

Rumburak · 17. 05. 2011 11:41

↑ Bawler:

Přesně tak,

$-\cos \alpha + \mathrm{i}\sin \alpha = \cos (\pi -\alpha) + \mathrm{i}\sin (\pi-\alpha)$ .

Bawler · 17. 05. 2011 12:31

Tákže, mohlo by to být nějak takto?

Rumburak

Připadá mi to správně. Aby to vypadalo o něco lépe, můžeme k argumentu přičíst 360 st. a dostaneme

$\frac{\sqrt2}{2}\big{(}\cos (2\alpha + 15^{\circ}) + \mathrm{i}\sin (2\alpha + 15^{\circ})\big{)}$ .

Bawler · 17. 05. 2011 13:58

Dobře, děkuji.

Matematické Fórum

#1 17. 05. 2011 08:08

Vyjádření čísla v goniometrickém tvaru...

#2 17. 05. 2011 09:47 — Editoval Rumburak (17. 05. 2011 13:43)

Re: Vyjádření čísla v goniometrickém tvaru...

#3 17. 05. 2011 09:53

Re: Vyjádření čísla v goniometrickém tvaru...

#4 17. 05. 2011 09:57

Re: Vyjádření čísla v goniometrickém tvaru...

#5 17. 05. 2011 10:13

Re: Vyjádření čísla v goniometrickém tvaru...

#6 17. 05. 2011 11:41

Re: Vyjádření čísla v goniometrickém tvaru...

#7 17. 05. 2011 12:31

Re: Vyjádření čísla v goniometrickém tvaru...

#8 17. 05. 2011 13:16 — Editoval Rumburak (17. 05. 2011 13:44)

Re: Vyjádření čísla v goniometrickém tvaru...

#9 17. 05. 2011 13:58

Re: Vyjádření čísla v goniometrickém tvaru...

Zápatí