Matematické Fórum

valiceko · 16. 05. 2011 19:29

Ahoj, potřeboval bych poradit s některými integrály. Pokoušel jsem se je vypočítat, ale nějak netuším, jak správně postupovat.

Jedná se o následující příklady:

1. (5x+2)/(x^2+1)
Zde postupuji:
a) rozložím si na dva zlomky: (5x)/(x^2+1) + 2/(x^2+1)
Dál už nevím, jak postupovat

2. x*8^x
Zde postupuji metodou per partes:
u = x u'= 1
v' = 8^x v = (8^x)/(ln(8))

Vyšlo mi: (x*8^x)/(ln(8))-(8^x)/(ln^2(8))+c

Je tento postup správný? Případně jakou metodu byste použili a jak při ní dále postupovali?

Děkuji za Vaši odpověď

Ondra

Jenda358

↑ valiceko:
Ahoj.
1. Správně jsi rozložil. Teď integruj každý zlomek zvlášť. Na ten první můžeš použít substituci

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

a ten druhý je vlastně tabulkový integrál.

2. Ten máš asi správně.

Phate · 16. 05. 2011 19:48

↑ Jenda358:
V tom prvnim lze vytknout $\frac52$ a resit pak jako integral $\int{\frac{f'(x)}{f(x)}}$

Jenda358

↑ Phate:
Ano, dobrý nápad. Asi by to bylo rychlejší (i když ta substituce by taky netrvala moc dlouho).
Ale vlastně je to to samé, protože $\int{\frac{f'(x)}{f(x)}}$ je jen zobecnění té substituce.

valiceko · 16. 05. 2011 23:44

↑ Jenda358:

Díky za Vaše odpovědi ... moc jste mi pomohli ... zkoušel jsem tedy dopočítat a vyšlo mi:

Jinak k tomu druhému příkladu, zvolil jsem opravdu správný postup? Ptám se, protože jsem zkoušel tento příklad zadat i do MAW, ovšem tam mi vyšel jiný výsledek. Pokud ale ručně zadám, že chci řešit přes per partes, tak se výsledek shoduje. Nevím tedy, který výsledek je správně.

Ještě jednou díky za vysvětlení.

Mějte se

Ondra

OiBobik · 17. 05. 2011 00:08

↑ valiceko:

Stačí zkusit výsledek zderivovat a když ti vyjde původní funkce, máš to správně (tedy ano, výsledek je správně). ; ))

valiceko

Ahoj, díky za pomoc s předchozími příklady. Dnes jsem narazil na další dva příklady, které jsou pro mě poměrně těžké. Díky za jakoukoliv pomoc :-).

První příklad:

U tohoto příkladu jsem poznal, že bych měl čitatel vydělit jmenovatelem (vyjde mi toto):

Dále již ale nevím, co s tím. Zintegruji x a 3 zvlášť, ale co s tím výrazem (7x-14)/(x^2-3x+2)?

Poprosil bych Vás ještě o radu s druhým příkladem:

Zde vůbec nevím, jakou metodu použít. Jediná vhodná, když se dívám na ten příklad mi přijde substituce, ale nedokážu si představit v čem mi zrovna ta substituce pomůže.

Mohl byste mi prosím někdo tyto příklady dopočítat, a lehce vysvětlit, proč jste tak postupovali?

Vím, že jsem se teď ukázal jako největší de..l, ale já to prostě v některých příkladech nevidím.

Díky za každou pomoc.

Ondra

Rumburak

↑ valiceko:

K prvnímu příkladu : poslední zlomek se dá ještě krátit výrazem (x-2). Postupovat můžeme i takto:
$\frac{x^3-8}{x^2-3x+2}= \frac{x^3-2^3}{x^2-3x+2}=\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{(x-2)(x-1)}= ...$ .
Pozor na definiční obor původní integrované funkce. (Jak se to promítne do výsledku ?)

Ke druhému:
Zkus substituci $\sqrt{1+2x} + 2 = t$ (a sám uvidíš, co to udělá) .

Monisek · 17. 05. 2011 15:58

dvojný integrál (2x-y)dxdy kde oblast D je ohraničena křivkami y=0, y=x, x=4
D

D je pod dvojným integrálem

jelena · 17. 05. 2011 16:04

↑ Monisek:

Zdravím, založ si, prosím, vlastní téma - viz pravidla a s čítelným matematickým zápisem. Děkuji.

valiceko · 17. 05. 2011 16:24

Ahoj, díky za odpověď ... první příklad jsem dopočítal OK.

Asi jsem ale opravdu natvrdlý, ten druhý prostě pořád nemohu dokončit.

Pokud zadám substituci, vyjde mi toto:

Díval jsem se do MAW a správně by mělo vyjít:

Nechápu, jak k tomu ten systém došel .... asi už mám dneska dost :-)

Díky za vysvětlení, omlouvám se za dnešní přihlouplé dotazy.

Ondra

Rumburak

↑ valiceko:
Ta substituce se spočítá takto:

$\sqrt{1+2x} + 2 = t$ ,
$\sqrt{1+2x} = t - 2$ ,
$1+2x = (t - 2)^2$ ,
...
$x = \frac{(t - 2)^2 - 1}{2}$ , $\mathrm{d}x = \frac{2(t - 2)}{2} \mathrm{d}t = (t - 2) \mathrm{d}t$ ,

obecně $\mathrm{d}x = h'(t) \mathrm{d}t$ pro funkci $x = h(t)$ .

Sestavit integrál ve tvaru po substituci by už nemělo být težké: