Matematické Fórum

mischell90

Prosím Vás mám takový dotaz. Jak zjistím, jestli jsou si matice A a B podobné? když:

(2 1 0 0) (2 0 0 0)
A= (0 2 0 0) B= (0 2 1 0)
(0 0 2 1) (0 0 2 1)
(0 0 0 2) (0 0 0 2)

Už dříve jsem někde četla, že na první pohled poznáme, že matice si mohou být podobné, když se rovnají jejich determinanty, ale potřebovala bych nějaký důkaz nebo výpočet, jestli jsou si skutečně podobné.

Děkuji moc

Alivendes · 18. 05. 2011 22:39

Zdravím :), důkaz je vidět hned, obě matice jsou upraveny na diagonální tvar a jejich determinant je součin diagonálních prvků.
Determinant obou matic je 16. ..

Olin · 18. 05. 2011 22:59

Zdravím, rovnost determinantů je pouze nutnou podmínkou pro podobnost matic, zdaleka se nejedná o postačující.

Uvedené matice si nejsou podobné například proto, protože obě už jsou převedeny do Jordanova kanonického tvaru, ve kterém obsahují různé buňky. Elementárněji se to dá nahlédnout tak, že obě matice mají jediné vlastní číslo 2, a zatímco je $(A - 2E)^2 = 0$ , tak $(B - 2E)^2 \neq 0$ , kde $E$ značím jednotkovou matici a 0 nulovou matici.

mischell90 · 19. 05. 2011 19:03

děkuji moc, že jste se ozvali.. vím, že stejný determinant je nutná, nikoli postačující podmínka, ale právě jsem chtěla nějaký důkaz nebo výpočet, jak opravdu zjistit, že si podobné nejsou..a jak jste přišel na to, že (A-2E)^2 = 0 ? takže tyto dvě matice si teda určitě podobné nejsou, chápu to dobře? Protože spolužáci říkají, že jednoznačně jsou, ale nezdálo se mi to..

Olin · 19. 05. 2011 20:00

Podobné nejsou. Zkusme to třeba sporem: kdyby podobné byly, znamenalo by to, že existuje nějaká regulární matice $M$ taková, že $A = MBM^{-1}$ . Upravujme ekvivalentně tuto rovnost:

$A - 2E &= MBM^{-1} - 2E\\ A - 2E &= MBM^{-1} - 2MEM^{-1}\\ A - 2E &= M(B - 2E)M^{-1}$

Tedy $A, B$ jsou podobné právě tehdy, když jsou podobné $A - 2E, B - 2E$ . No a pokud ještě obě strany umocníme na druhou, dostaneme

$(A-2E)^2 = \left(M(B - 2E)M^{-1}\right)^2 = M(B - 2E)M^{-1}M(B - 2E)M^{-1} = M(B - 2E)^2M^{-1}$ ,

takže druhé mocniny těchto matic si musí být taky podobné. To ovšem není možné, protože jak jsem již uváděl výše, $(A-2E)^2$ je nulová matice, která je podobná pouze sama sobě.

mischell90 · 21. 05. 2011 18:04

Je možné, že mi (A-2E)^2 vyšla takto?

(0 1 0 0)
(0 0 0 0)
(0 0 0 1)
(0 0 0 0)

a (B-2E)^2 takto?

(0 0 0 0)
(0 0 1 0)
(0 0 0 1)
(0 0 0 0)

Olin · 22. 05. 2011 16:34

Možné to je, ale je to špatně.

mischell90 · 22. 05. 2011 18:24

tak potom to asi nechápu..

Olin · 22. 05. 2011 19:03

$A - 2E = \left ( \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right ), \quad (A - 2E)^2 = \left ( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right ).$

Jde jen o násobení matic.

mischell90 · 22. 05. 2011 19:22

A jo, jsem slepá, děkuji moc, už to tedy chápu, takže podobné si určitě nejsou.. a když jsou dvě matice a mají determinant = 0, tak mohou být podobné? V přednáškách jsme měli, že podobné si mohou být pouze regulární matice...

Olin · 22. 05. 2011 22:59

No, nevím, jak máte definovanou podobnost matic, v mé definici (pomocí existence matice M, jak jsem uváděl výše) mohou být podobné i singulární matice. Na wiki je to stejně.

Matematické Fórum

#1 17. 05. 2011 21:16 — Editoval mischell90 (18. 05. 2011 14:39)

Podobnost matic

#2 18. 05. 2011 22:39

Re: Podobnost matic

#3 18. 05. 2011 22:59

Re: Podobnost matic

#4 19. 05. 2011 19:03

Re: Podobnost matic

#5 19. 05. 2011 20:00

Re: Podobnost matic

#6 21. 05. 2011 18:04

Re: Podobnost matic

#7 22. 05. 2011 16:34

Re: Podobnost matic

#8 22. 05. 2011 18:24

Re: Podobnost matic

#9 22. 05. 2011 19:03

Re: Podobnost matic

#10 22. 05. 2011 19:22

Re: Podobnost matic

#11 22. 05. 2011 22:59

Re: Podobnost matic

Zápatí