Matematické Fórum

cinnamonchallenge · 18. 05. 2011 08:07

Ahoj, potřebuji dokázat, že odmocnina ze tří je iracionální číslo. Našel jsem tu důkaz odmocniny z pěti a pokusil se postup tak nějak aplikovat, jenže mi to furt jaksi nesedí. :(
Děkuji předem za pomoc.

byk7 · 18. 05. 2011 09:57

↑ cinnamonchallenge:
dokaž to zas sporem (p, q jsou nesoudělná čísla)
$\frac pq&=\sqrt3 \\ \frac{p^2}{q^2}&=3 \\ p^2&=3q^2\Rightarrow3|p\rightarrow p=3k \\ (3k)^2&=3q^2\qquad/:3 \\ 3k^2&=q^2\Rightarrow3|q$
a to je spor, protože jsme předpokládali, že jsou nesoudělná, ale ve skutečnosti jsou obě dělitelná třemi

zdenek1 · 18. 05. 2011 10:01

↑ cinnamonchallenge:
Předpokládejme, že $\sqrt3$ je racionální. Pak ho můžeme napsat ve tvaru
$\sqrt3=\frac pq$ , kde $p,q\in\mathbb N$ a jsou nesoudělná.
$3=\frac{p^2}{q^2}$
$3q^2=p^2\ \Rightarrow\ p=3k,\ k\in\mathbb N$
$3q^2=9k^2$
$q^2=3k^2\ \Rightarrow\ q=3n,\ n\in\mathbb N$

Pak ale $p,q$ nejsou nesoudělná a máme spor. Takže $\sqrt3$ není racionální.