Matematické Fórum

byk7 · 19. 05. 2011 12:30

Zdravím, jak bych nejlépe vypočítal integrál $I:=\int\sin^2(x)\cos^2(x)\mathrm{d}x$ ?

Zkoušel jsem substituci $t=\tan(x)$ ale potom to dělalo nějaké hrůzy.

děkuji

Phate · 19. 05. 2011 12:56 — Editoval Phate (19. 05. 2011 13:03)

Napadla me takova silena metoda, ale nevim, jestli tam nebude nekde chyba. Prepsal bych $I:=\int\sin^2(x)\cos^2(x)\mathrm{d}x=\int\sin^2(x)-sin^4(x)\mathrm{d}x$ . A ted nejdrive zintegruje $sin^2x$ a pote bych resil per partes $sin^4x$ kde obe casti by byly $sin^2x$ a jednu bys integroval, protoze to bys mel spocitane z toho prvniho a druhou derivoval. Ten clen bez integralu bude jasny a ten s integralem ti vyjde $\int\sin(2x)sin(2x)\mathrm{d}x$ , kde bych zasubstituoval 2x a resil jako ten prvni integral. Nevim, jestli je to dobre, v integralech se jeste tolik nevyznam.

byk7 · 19. 05. 2011 12:58

↑ Phate: a nemělo by být spíš $\int\sin^2(x)-\sin^4(x)\mathrm{d}x$ ?

Phate · 19. 05. 2011 13:02

↑ byk7:
Jo, melo, ale ve vysledku to moc nemeni, ne?

jelena · 19. 05. 2011 13:16

Zdravím vás,

myslím, že jiná možnost je použit na úvod vzorec pro dvojnásobný úhel 2sin(a)*cos(a).. a potom, že sin^2(b)=(1-cos(2b))/2

Označila jsem a, b - argumenty (po úpravě), abych to nemusela vypisovat, omlouvám se.

Ale ještě nevím, která z cest vede na větší počet operací, děkuji za kritiku.

Phate · 19. 05. 2011 13:26

↑ jelena:
Ano tuto operaci jsem myslel pro vypocitani integralu $\int\sin^2(x){d}x$ a pote pouziti toho vypocitaneho integralu dale v per partes, ale nevim, jak moc je to efektivni.

jelena · 19. 05. 2011 13:33

↑ Phate: děkuji, já bych řekla, že u toho postupu jsi a to tak:

$\sin^2(x)\cos^2(x)=\frac{\sin^2(2x)}{4}=\frac{1-\cos(4x)}{2\cdot 4}$

Tedy nakonec půjde o substituci.

Může být? Děkuji.

EDIT: vzorec byl opraven ve shodě s následujícím doporučením kolegy Rumburaka, děkuji.

Phate · 19. 05. 2011 13:35

↑ jelena:
To vypada elegantne :), pekne reseni

Rumburak · 19. 05. 2011 14:29

↑ jelena:
Zdravím :-) , pěkný nápad, pouze si dovolím opravit překlep. Bylo jistě míněno
$\sin^2(x)\cos^2(x)=\frac{\sin^2(2x)}{4}=\frac{1\fbox{-}\cos(4x)}{2\cdot 4}$ .

jelena · 19. 05. 2011 15:02

vážený kolega Rumburak napsal(a):
Bylo jistě míněno...

no ani ne :-) jsem to totiž sama odvodila na papírku čekajíc na pokyny hodných kolegyněk, že mám něco dělat. Zřejmě se mi to nepovedlo tak úplně, opravím, děkuji.

OT: mám dobře přechodník v předchozí větě? Děkuji a zdravím.

Rumburak

↑ jelena:

S přechodníkem příliš neporadím. Pouze tuším, že z hypoteticky možných tvarů "čekaje, čekajíc, čekajíce" je ten poslední pro množné číslo.
U prvních dvou pro jednotné číslo si nejsem jist, zda kriteriem správné volby je osoba nebo rod. V češtině přechodníky celkem vzato vymírají ...,
i když nepochybuji o tom, že ve škole (minimálně na gymnasiu) jsme to probírali.

Pavel Brožek · 19. 05. 2011 15:59

↑ jelena:

Zdravím, podle internetové jazykové příručky soudím, že ho máš dobře :-). 3. os. č. mn. přít. času: čekají. Koncovka je í, volím tedy z druhé skupiny b) na odkazu. Tebe se týká ženský rod, takže ke kmeni čekaj přidávám koncovku -íc.

Omlouvám se za OT, ale téma je už stejně vyřešené…

jelena · 19. 05. 2011 16:57

↑ Rumburak:, ↑ Pavel Brožek:

Děkuji vám,

právě přechodník vyjadřuje přesně, jak to bylo. Ale mám obavy z jeho psaného použití, ve slovním projevu to tak nevadí, koncovka se ztratí.

Zakladatelem tématu je vážený Moderátor, věřím, že si s OT poradí, také se omlouvám.

Narazili jste někdy na toto (odkaz na samotné fórum mi poslala Claudia, ale našla jsem u nich náhodou) (i včetně Linked, Related), zajímavé, ještě nevím, jak s tím naložit :-)

Mějte se hezky, v tomto tématu skutečně konec všech OT.

byk7 · 19. 05. 2011 17:13

Díky všem za pomoc.

Matematické Fórum

#1 19. 05. 2011 12:30

Neurčitý integrál

#2 19. 05. 2011 12:56 — Editoval Phate (19. 05. 2011 13:03)

Re: Neurčitý integrál

#3 19. 05. 2011 12:58

Re: Neurčitý integrál

#4 19. 05. 2011 13:02

Re: Neurčitý integrál

#5 19. 05. 2011 13:16

Re: Neurčitý integrál

#6 19. 05. 2011 13:26

Re: Neurčitý integrál

#7 19. 05. 2011 13:33

Re: Neurčitý integrál

#8 19. 05. 2011 13:35

Re: Neurčitý integrál

#9 19. 05. 2011 14:29

Re: Neurčitý integrál

#10 19. 05. 2011 15:02

Re: Neurčitý integrál

vážený kolega Rumburak napsal(a):

#11 19. 05. 2011 15:26 — Editoval Rumburak (19. 05. 2011 15:58)

Re: Neurčitý integrál

#12 19. 05. 2011 15:59

Re: Neurčitý integrál

#13 19. 05. 2011 16:57

Re: Neurčitý integrál

#14 19. 05. 2011 17:13

Re: Neurčitý integrál

Zápatí