Matematické Fórum

Maroš Anderko · 19. 05. 2011 21:45

Ako zistím zo všeobecnej rovnice typ kúžeľosečky? teda aj jej presnú polohu vlastnoti...
ak mám napr rovnicu x^2-4xy+4y^2-6x+12y+9=0
Skúšal som to cez determinanty matíc, ale to mi povedalo len typ kúžeľosečky nie aká presne je, kde sa nachádza...potom cez prienik rovnobežných priamok pomocou počtu prienikových bodov..ale to je stále len nejaké skúšanie..vedel by mi niekto poradiť presný postup ako na to?

teolog · 19. 05. 2011 21:49

↑ Maroš Anderko:
Zkuste rovnici upravit na nějaký vhodný tvar rovnice (středový, vrcholový) pomocí doplnění na čtverec.

Maroš Anderko · 19. 05. 2011 21:50

no to som sa pokúšal avšak stále mi tam vyskakuje člen XY ktorý mi tam prekáža....neviem sa ho nijako zbaviť..

teolog · 19. 05. 2011 21:59

↑ Maroš Anderko:
No jo, teď na to koukám...

Tak hodně matně si vzpomínám, jestli se to náhodou neřeší přes pootočení souřadnic. Zkusím se mrknout do nějakého starého sešitu.

Maroš Anderko · 19. 05. 2011 22:00

no áno...pootočením súradníc by to malo ísť..problém je že neviem ako, neviem to vygoogliť :-(

teolog · 19. 05. 2011 22:02

↑ Maroš Anderko:
Tak pokud Vám stačí materiál, zkuste toto.

Maroš Anderko · 19. 05. 2011 22:09

som z toho tak trošku vedľa...keďže uvedený príklad je tam práve bez toho zmiešaného člena..ale snáď sa mi to nejako podarí vypočítať

Maroš Anderko · 19. 05. 2011 22:18

predsa len, vedeli by ste mi to vysvetliť na zadanej rovnici v prvom príspevku?

teolog · 19. 05. 2011 22:28 — Editoval teolog (19. 05. 2011 22:51)

↑ Maroš Anderko:
Tak už to asi mám. Nemůže být v zadání nějaká chybička? Mně při finální úpravě zmizelo x.

Maroš Anderko · 19. 05. 2011 22:56

nie nie zadanie je fajn...teda výsledkom je priamka problém je, že sa k nemu neviem dopracovať, stále ten člen xy..

teolog · 19. 05. 2011 22:58 — Editoval teolog (19. 05. 2011 23:56)

↑ Maroš Anderko:
Tak tam zřejmě mám numerickou chybu. Třeba ji při přepisu sem najdu... :) Tak chvilku strpení.

$x^2-4xy+4y^2-6x+12y+9=0$
Proveďme následující substituci:
$x=x'\cos\varphi-y'\sin\varphi$
$y=x'\sin\varphi+y'\cos\varphi$

Takže původní zadání vypadá takto:
$(x'\cos\varphi-y'\sin\varphi)^2-4(x'\cos\varphi-y'\sin\varphi)(x'\sin\varphi+y'\cos\varphi)+4(x'\sin\varphi+y'\cos\varphi)^2-\nl-6(x'\cos\varphi-y'\sin\varphi)+12(x'\sin\varphi+y'\cos\varphi)+9=0)$

Po úpravě a vytknutí dostáváme relativně pěkný tvar:
$x'^2(\cos^2\varphi-4\sin\varphi\cos\varphi+4\sin^2\varphi)+ \nl y'^2(\sin^2\varphi+4\sin\varphi\cos\varphi+4\cos^2\varphi)+ \nl x'y'(-2\sin\varphi\cos\varphi-4\cos^2\varphi+4\sin^2\varphi+8\sin\varphi\cos\varphi)+ \nl x'(-6\cos\varphi+12\sin\varphi)+ \nl y'(6\sin\varphi+12\cos\varphi)+ \nl 9=0$

Naším cílem je eliminovat ten člen x'y', takže musíme najít takkový úhel fí, pro který je ta závorka rovna nule. Tedy řešíme tuto rovnici:
$-2\sin\varphi\cos\varphi-4\cos^2\varphi+4\sin^2\varphi+8\sin\varphi\cos\varphi=0$

Nejsem si jistý, jestli mám vypisovat celý postup.
Výsledek je $\mathrm{tg}\varphi=\frac12$ , z čehože lze spočítat i hodnotu $\sin^2\varphi$ , $\cos^2\varphi$ , $\sin\varphi\cos\varphi$ , $\sin\varphi$ a $\cos\varphi$ .

Tyto hodnoty dosadíme za fí do celé rovnice a dostaneme:
$x'^2(\frac45-4\cdot\frac25+\frac45)+y'^2(\frac15+4\cdot\frac25+\frac{16}{5})+x'y'\cdot 0+x'(-6\cdot\frac{2\sqrt{5}}{5}+12\cdot\frac{\sqrt{5}}{5})+y'(\frac{6\sqrt{5}}{5}+12\cdot\frac{2\sqrt{5}}{5})+9=0$

Po úpravě:
$5y'^2+6\sqrt{5}y'+9=0$

Nyní můžeme nahradit y' ya y a dostaneme finální rovnici kuželosečky:
$5y^2+\frac{18}{5}y+9=0$

Někde mám zřejmě chybu, x by asi nemělo úplně zmizet a podle wolframu by to měla být přímka, čemuž má rovnice neodpovídá. Ale postup by snad měl být v pořádku.

EDIT: Už jsem chybu objevil, za pár minut to přepíšu a uvidíme, co z toho vyleze.

EDIT: Tak nic, to byl planý poplach.