Matematické Fórum

MartinK

Ahoj, věděl by si s tím někdo rady? :)

$\forall n \in \mathbb{N}: \sum_{i=1}^{n}(2i-1)=n^2$

OiBobik

Ahoj,

V indukčním kroku n->(n+1) zkus využít $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ . ; ))

OiBobik

↑ MartinK:

pro n=2 ti to nevychází?

$LS=&\sum_{i=1}^{2}(2i-1)=(2\cdot1-1)+(2\cdot 2 -1)=1+3=4 \\ PS=&2^2=4$

/// nemusíš to hned skrývat, když se spleteš, to se stane každému, na druhou stranu teď tu budou z mé strany viset nesmyslné úryvky : ))

MartinK

$\forall k \in \mathbb{N}: \sum_{i=1}^{k}(2i-1)=1+3+5+....(2\cdot(k)-1)=k^2\Rightarrow \nl \forall (k+1) \in \mathbb{N}: \sum_{i=1}^{k+1}(2i-1)=1+3+5+....(2\cdot(k)-1)+(2\cdot(k)+1)=(k+1)^2\nl \forall (k+1) \in \mathbb{N}: \sum_{i=1}^{k+1}(2i-1)=\underline{1+3+5+....(2\cdot(k)-1)}+(2\cdot(k)+1)= \underline{k^2} + 2k + 1$
Jestli je to takhle, tak nevim, proč jsem v tom hledal takovou vědu :))

OiBobik

↑ MartinK:

No, to je přesně ono. ; ))

Máš to jenom nějak podivně značené (s těmi kvantifikátory) - podstata toho je, že to platí pro všechna n až po k a ty z toho odvodíš, že to platí i pro (k+1); tj. m9sto toho $\forall k \in \mathbb{N}$ bys měl mít $\forall n \in \{1,2, \dots k\}$ - kdybys měl už ověřenou platnost toho prvního, pak bys přece nemusel něco jako indukční krok dělat : ))

__________________________________________________________________________________________________________________________

No a jen ta pro zábavu: Dá se to odvodit snadno i bez indukce, využije se přitom známý vzorec pro součet prvních n přirozených čísel:

$\forall n \in \mathbb{N}: \sum_{i=1}^{n}i=&\frac{n(n+1)}{2} \\ 2\cdot \sum_{i=1}^{n}i=\sum_{i=1}^{n}2i=& n(n+1)\\\ \sum_{i=1}^{n}2i -n =\sum_{i=1}^{n}(2i-1) =& n(n+1)-n=n^2+n-n=n^2$