Matematické Fórum

Prokop · 20. 05. 2011 15:40

Napiště rovnici elipsy v osovém tvaru, je-li dána její ecentricita e=2 a tečna 2x+3y+9=0
Díky

Phate · 20. 05. 2011 16:00

moc se v teto terminologii nevyznam, ale elipsa v osovem tvaru znamena, ze ma stred v pocatku souradnic? jinak si myslim, ze resenich je nekonecne mnoho s tak malo parametry.

Cheop · 20. 05. 2011 16:17 — Editoval Cheop (30. 05. 2011 08:49)

↑ Prokop:
Rovnice elipsy bude mít tvar
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
Pro elipsu platí:
$a^2=b^2+e^2\\a^2=b^2+4$
$\frac{x^2}{b^2+4}+\frac{y^2}{b^2}=1$
Přímka bude mít s elipsou 1 bod - je to tečna
$2x+3y+9=0\\y=\frac{-2x-9}{3}$ - dosadíme do elipsy
$\frac{x^2}{b^2+4}+\frac{(-2x-9)^2}{9b^2}=1$ - úpravou:
$x^2(13b^2+16)+x(36b^2+144)+45b^2-9b^4+324=0$ protože je to tečna řešíme tuto kvadratickou rovnici s parametrem b tak, aby diskriminant D = 0
$(36b^2+144)^2-4(13b^2+16)(45b^2-9b^4+324)=0$
stroj odpověděl Odkaz

$b=\pm\sqrt 5\\b^2=5\\a^2=b^2+4\\a^2=9$
Rovnice elipsy:
$\color{red}\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$