Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 15. 05. 2011 11:21
- Aquabellla
- Moderátorka Bellla
- Místo: Brno
- Příspěvky: 1473
- Škola: Ma-Ek PřF MUNI (11-14, Bc.), (14-16, Mgr.)
- Pozice: Absolventka Bc., studentka NMgr.
- Reputace: 98
Osa průvodičů = tečna elipsy
Zdravím, potřebovala bych pomoc s maturitním příkládkem:
Dokaž, že přímka p je tečnou elipsy E právě tehdy, když přímka p je osou právě jedné dvojice úhlů tvořených různoběžkami EX, FX (průvodiče), kde body E, F jsou ohniska a X je dotykový bod přímky p s elipsou E.
Jelikož je to ekvivalence, musí se to řešit z obou stran: je-li to tečna, pak je to osa; je-li to osa, pak je to tečna
Osa => Tečna - umím dokázat
EX + FX = EX + F'X = EF' = 2a ... platí pro jediný bod elipsy a to bod dotykový (F' je bod souměrný k bodu F podle osy - leží na průvodiči EX)
zvolím libovolný bod osy Y kromě bodu dotyku: EY + FY = EY + F'Y > EF' = 2a (trojúhelníková nerovnost) - tudíž bod Y je vnějším bodem elipsy
Tečna => Osa - nejde mi dokázat, poradil by mi, prosím, někdo? Je mi jasné, že to musí jít nějak podobně...
Nejkratší matematický vtip: „Nechť epsilon je záporné…“
Zákon pro pedagogy: Nikdo vás neposlouchá, dokud se nespletete.
Offline
- (téma jako vyřešené označil(a) Aquabellla)
#2 20. 05. 2011 17:40
- Aquabellla
- Moderátorka Bellla
- Místo: Brno
- Příspěvky: 1473
- Škola: Ma-Ek PřF MUNI (11-14, Bc.), (14-16, Mgr.)
- Pozice: Absolventka Bc., studentka NMgr.
- Reputace: 98
Re: Osa průvodičů = tečna elipsy
Tak už jsem se dozvěděla, jak se to řeší. Pro jistotu to sem napíšu, kdyby to někoho zajímalo, případně pro další studenty hledající odpověď na tento příklad :-)
Důkaz se provádí sporem, takže předpokládám, že tečna a osa jsou různé přímky.
X je bod dotyku tečny
F' je obraz bodu F v osové souměrnosti podle tečny => Ft = F't (F' nenáleží průvodiči)
Y je bod, který vznikne průnikem přímky EF' a tečny
EY + FY = EY + F'Y < EX + XF' = EX + XF = 2a
=> pro Y platí, že je vnitřním bodem elipsy, což je spor, protože jsme předpokládali, že leží na tečně => platí původní tvrzení (bod F' musí ležet na průvodiči => tečna = osa)
Nejkratší matematický vtip: „Nechť epsilon je záporné…“
Zákon pro pedagogy: Nikdo vás neposlouchá, dokud se nespletete.
Offline