Matematické Fórum

zuzule · 19. 05. 2011 21:35

Ahoj nevím si rady z inverzním zobrazením.
Zadání:
Rozhodněte zda pro zobrazení
$g: R^2->R^2, g(x,y)=(y-1,x+1)$ řešila jem to takhle:
$f(a,b)=(b-1,a+1)$
$f(c,d)=(d-1,c+1)$
$b-1=d-1 => b=d$
$a+1=c+1 => a=c$
a z toho my vyplývá, že je zobrazení injektivní

$(a,b)$
$(u,v) -> (v-1,u+1)$
$a=v-1 => v=a+1$
$b=u+1=> u=b-1$
a z toho usuzuji, že zobrazení je surjektivní a zároveň by mělo být i bijektivní a tudíš existuje inverzní zobrazení a zde nastává můj problém jak toto inverzní zobrazení určím.

Děkuji za pomoc

check_drummer · 19. 05. 2011 21:48

Nevím, zda existuje nějaká obecná metoda, jak toto řešit, ale v tomhle případě je to zřejmě "vidět", že inverzní zobrazení má předpis: (x,y) -> (y-1,x+1). Tedy je rovno přímo g.

zuzule · 19. 05. 2011 21:54

A to kvůli tomu, že ty souřadnice x a y jsou prohozené v tom zadání?

check_drummer · 20. 05. 2011 17:44

Takových inverzních zobrazení, kdy g=g^{-1} může být víc. Např. (x,y)->(-x,-y), apod.

mischell90 · 20. 05. 2011 17:55

a nemělo by to inverzní zobrazení vypadat náhodou tak?:

g^(-1)(y,x) = (x-1, y+1) ???

check_drummer · 20. 05. 2011 18:36

↑ mischell90:
Přesně tak - to je totéž, které jsem napsal já, jen jsi si jinak označila proměnné. Ale zpravidle je zvykem používat složky (x,y) a nikoli (y,x), i když to ničemu nevadí.

mischell90 · 20. 05. 2011 18:44

aha, já jen, že to tvoje inverzní zobrazení vypadá stejně jako v zadání, tak mě to zmátlo.. ale myslím jsme v přednáškách měli inverzní zobrazení jako (y,x)...já jsem jen byla zmatená a nevěděla, jestli to dobře chápu:)

check_drummer · 20. 05. 2011 20:22

Možná by bylo dobré také zmínit, že $g=T^{-1}\circ O \circ T$ , kde T je translace ve směru osy x o 1 jednotku a O je osová souměrnost podle osy y=x. g je pak osová souměrnost podle osy y=x+1. Dle tohoto jsou výše uvedené postupy zřejmé (bijekce, involutornost, ...). Často přechod ke geometrii ušetří čas a přidá jistou dávku radosti. :-)

Matematické Fórum

#1 19. 05. 2011 21:35

Inverzní zobrazení

#2 19. 05. 2011 21:48

Re: Inverzní zobrazení

#3 19. 05. 2011 21:54

Re: Inverzní zobrazení

#4 20. 05. 2011 17:44

Re: Inverzní zobrazení

#5 20. 05. 2011 17:55

Re: Inverzní zobrazení

#6 20. 05. 2011 18:36

Re: Inverzní zobrazení

#7 20. 05. 2011 18:44

Re: Inverzní zobrazení

#8 20. 05. 2011 20:22

Re: Inverzní zobrazení

Zápatí