Matematické Fórum

Bawler · 21. 05. 2011 08:31

Zdravím... Je dáno: Dokažte, že součet kořenů rovnice x^3 - 1 = 0 je 0, a že součin je 1.
Potřeboval bych opět nakopnout. Vím(teda alespoň myslím), že kořeny leží na jednotkové kružnici, což mi k tomu asi nějak pomůže. Jen zrovna nemám žádný solidní nápad.

Jenda358 · 21. 05. 2011 09:13

↑ Bawler:
A co tu rovnici vyřešit? V zadání to nezakazují.

Bawler · 21. 05. 2011 09:52 — Editoval Bawler (21. 05. 2011 09:53)

To sice ano, ale řešení není důkaz. Nebo teda co já vím, tak řešení se za důkaz nepovažuje. Kdyby se to dalo dokázat pouhým řešením, tak by to bylo snadné, ale co vím, tak se to vždy nějak dokazovalo, aniž bychom to řešili.

miso16211

K{ $1$ , $-\sqrt[3]{-1}$ , $(-1)^{\frac23}$ }

Dana1 · 21. 05. 2011 10:25 — Editoval Dana1 (21. 05. 2011 11:12)

↑ miso16211:

Nie - rovnica tretieho stupňa má tri korene, dva sú komplexné, myslím (vychádzam z rozkladu $a^3 - b^3$ ).

OT: Michal, príspevok by si mal meniť editom. Keď obsah príspevku len tak zmeníš, moja reakcia naň stráca zmysel.

Nemyslím, že Tvoje terajšie predložené riešenie je správne...

Phate · 21. 05. 2011 10:37 — Editoval Phate (21. 05. 2011 10:37)

Co takhle Vietovy vztahy? Tam se ti objevi soucet i soucin ;)

Dana1 · 21. 05. 2011 11:17

↑ Phate:

Super nápad.

Jeden koreň z rozkladu $a^3 - b^3$ je x = 1.

Zvyšok rozkladu má dva (komplexne združené) korene, pre ktoré platia Vietove vzťahy.

Ak sa dá prvý koreň k ostatným koreňom, dokazované vzťahy vyjdú priamo... (ak sa nemýlim).

Pavel Brožek

↑ Dana1:

Není ani třeba využívat toho, že jeden kořen známe. Existují obecnější Vietovy vztahy.

$(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=x^3+(-x_1-x_2-x_3)x^2+(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)x+(-x_1x_2x_3)$

↑ Bawler:

Vyřešení rovnice a sečtení resp. vynásobení kořenů je správný důkaz. Ale nemusí být nejjednodušší.

Phate · 21. 05. 2011 11:34

↑ Pavel Brožek:
To jsem mel namysli :)

Bawler · 21. 05. 2011 11:51

Tak tenhle vztah vidím poprvé v životě.

Pavel Brožek · 21. 05. 2011 12:00

↑ Bawler:

To není nic, co by sis musel pamatovat. Stačí vědět, že se libovolný polynom dá rozložit na součin kořenových činitelů a pak umět závorky roznásobit.

Bawler · 21. 05. 2011 12:05

Takže to mám rozdělit jako a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)?

Dana1 · 21. 05. 2011 12:07 — Editoval Dana1 (21. 05. 2011 12:19)

↑ Bawler:

Ja myslím, že áno - takto je to pohodlné. Korene nevyčísľuješ (okrem x = 1), iba pre ne (pochádzajúce z druhej zátvorky) zapíšeš Vietove vzťahy...

$x_1 = 1, \color{red} x_2 + x_3 = -1$ súčet troch koreňov = $x_1 + \color{red} x_2 + x_3 \color{black} = 1 + \color{red}(-1) \color{black}= 0$

$\color {red} x_2\cdot x_3 = 1$ súčin troch koreňov = $x_1 \cdot\color {red} x_2\cdot x_3\color{black} = 1 \color{red}\cdot 1 = \color{black}1$ , čbtd ... :-)

Phate · 21. 05. 2011 12:08

↑ Bawler:
Ne, normalne roznasobis $(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$ a vytknes

Bawler · 21. 05. 2011 12:35

Ten postup od Dany se mi teda líbí nejvíce :) Ale jinak samozřejmě děkuji všem za pomoc, protože občas to se mnou není vůbec jednoduché.

Dana1 · 21. 05. 2011 12:38

↑ Bawler:

Ďakujem - ale len sa mi zapáčil ten nápad od Phate..

halogan · 21. 05. 2011 12:48

↑ Bawler:

Jde o to, že Pavlův postup lze použít pro polynom libovolného stupně bez znalosti jediného kořene. Je zajímavé vypisovat si polynomy se stále většími stupni. Objevíš, že máš nejen součet kořenů, jejich součin, ale různe cross producty apod.

Ale jak je libo, postupů je více.

Matematické Fórum

#1 21. 05. 2011 08:31

Důkaz...

#2 21. 05. 2011 09:13

Re: Důkaz...

#3 21. 05. 2011 09:52 — Editoval Bawler (21. 05. 2011 09:53)

Re: Důkaz...

#4 21. 05. 2011 10:21 — Editoval miso16211 (21. 05. 2011 10:28)

Re: Důkaz...

#5 21. 05. 2011 10:25 — Editoval Dana1 (21. 05. 2011 11:12)

Re: Důkaz...

#6 21. 05. 2011 10:37 — Editoval Phate (21. 05. 2011 10:37)

Re: Důkaz...

#7 21. 05. 2011 11:17

Re: Důkaz...

#8 21. 05. 2011 11:29 — Editoval Pavel Brožek (21. 05. 2011 11:31)

Re: Důkaz...

#9 21. 05. 2011 11:34

Re: Důkaz...

#10 21. 05. 2011 11:51

Re: Důkaz...

#11 21. 05. 2011 12:00

Re: Důkaz...

#12 21. 05. 2011 12:05

Re: Důkaz...

#13 21. 05. 2011 12:07 — Editoval Dana1 (21. 05. 2011 12:19)

Re: Důkaz...

#14 21. 05. 2011 12:08

Re: Důkaz...

#15 21. 05. 2011 12:35

Re: Důkaz...

#16 21. 05. 2011 12:38

Re: Důkaz...

#17 21. 05. 2011 12:48

Re: Důkaz...

Zápatí