Matematické Fórum

↑ Pokemaster:

Předpokládám, že ti jde o důkaz toho, že počet k-prvkových podmnožin n-prvkové množiny skutečně odpovídá tomuto číslu.

Představ si tedy, že vybíráš k prvků ze souboru n prvků, přičemž je to jedno, v jakém pořadí je vybereš.

Vybírejme prvky prozatím přece jen uspořádaně (po jednom):

Pro výběr prvního prvku mám n možností, přičemž ať už vyberu jakkoli, zbyde mi (n-1) prvků v souboru.
Pro výběr druhého prvku mám (n-1) možností, přičemž ať už vyberu jakkoli, zbyde mi (n-2) prvků v souboru.
...
...
Pro výběr k-tého prvku mám (n-(k-1)) možností.

Tedy tuto uspořádanou k-tici jsem vybral počtem způsobů:

Nyní jsme tedy odvodili počet uspořádaných k-tic, které lze vybrat z n prvků (tj. variace, nebo jak se tomu na střední škole říká).
Nám ovšem jde o neuspořádanou k-tici - tedy např. čtveřice (1,5,8,3) je pro nás to samé, co čtveřice (1,8,3,5) - musíme se tedy této násobnosti nějak zbavit.

Položme si otázku: Kolik různých takových uspořádaných k-tic bude obsahovat stále tytéž prvky, jenom v jiném pořadí? odpovědí je: počet různých seřazení k-prvkové množiny, tedy .
Víme tedy, že počet uspořádaných k-tic je , dále teď víme, že každá možná kombinace k prvků má k! uspořádání, tedy k! uspořádaných k-tic odpovídá jedné kombinaci prvků - tedy když tento počet vydělíme k!, dostaneme počet k-prvkových kombinací ze souboru n prvků, a tedy