Matematické Fórum

user · 21. 05. 2011 23:08 — Editoval user (21. 05. 2011 23:14)

Dobrý den,
mám dotaz, kterým jsem se dříve zabýval ale nedošel jsem k řešení.
Je nějaký postup, kterým můžu převést číslo zapsané pomocí libovolné mocniny na číslo v mocnině o základu 10 (a*10^b).
Jde mi o postup, kterým by to šlo odhadnout zpaměti bez použití kalkulačky či počítače. Nechci exaktní výpočet, ale abych si mohl představit, když uvidím číslo např. 5^50 přibližný řád v desítkové soustavě.

Phate · 21. 05. 2011 23:17

Pomoci logaritmu, ale k odhadu to moc nepomuze. Pokud cislo $5^{50}$ vyhodne zlogaritmujeme a pak zase odlogaritmujeme, rekneme, ze $y=5^{50} \\ \log_{10}{y}=50*\log_{10}{5} \Rightarrow y=10^{50*\log_{10}{5}}$ Bohuzel, nevim, co lepsiho z toho vydupat

Pavel Brožek · 21. 05. 2011 23:18

↑ user:

Asi hodně záleží na tom, co zrovna chceš převést a jak moc složitý výpočet jsi ochotný v hlavě provést. Já bych třeba vzal 5^50=(10/2)^50=(10^50)/(2^10)^5. Pamatuju si, že přibližně platí 2^10=10^3, takže přibližně 5^50=10^50/(10^15)=10^35.

Obecnější postup by se dal shrnout asi takto: Pokud mám mocninu a^b, tak si najdu nějakou mocninu a^c, která je blízká nějaké mocnině desítky, např. a^c=10^d. Pak provedu celočíselné dělění b/c. Další postup je snad jasný, nechce se mi to vypisovat. Kdyby nebylo, napiš :-).

user · 21. 05. 2011 23:37

Děkuju za odpovědi, obě byly přínosné. V té první jsem si zase trochu ujasnil jak se dá hezky použít matematika a u druhé jsem pochopil princip, takže asi zapamatovat pár mocnin a mohlo by to i jít.
S tou 2 je to hodně pěkný. Protože všechno je vlastně polovinou něčeho a ten postup můžu nahoře (v čitateli) opakovat znovu, takže z hlavy to možná nespočítám, ale odhad s pomocí papíru by mohl jít.

Pavel Brožek · 21. 05. 2011 23:43

↑ user:

Tam je ale podstatné to, že 5 je polovina zrovna desítky :-). Třeba to, že 7 je polovina 14 nám asi moc nepomůže. Tam bych ale třeba využil toho, že $7^2=49\approx50=\frac{10^2}{2}$ , takže $7^{20}\approx\frac{10^{20}}{2^{10}}\approx\frac{10^{20}}{10^3}=10^{17}$ . Z toho třeba zpátky na $7\approx10^{0.85}$ .

Snad vždycky se dá najít nějaký takový postup, kterým to přibližně odhadneme.

Matematické Fórum

#1 21. 05. 2011 23:08 — Editoval user (21. 05. 2011 23:14)

Převody mocnin o různém základu na mocninu o základu 10

#2 21. 05. 2011 23:17

Re: Převody mocnin o různém základu na mocninu o základu 10

#3 21. 05. 2011 23:18

Re: Převody mocnin o různém základu na mocninu o základu 10

#4 21. 05. 2011 23:37

Re: Převody mocnin o různém základu na mocninu o základu 10

#5 21. 05. 2011 23:43

Re: Převody mocnin o různém základu na mocninu o základu 10

Zápatí