Matematické Fórum

Aquabellla · 23. 05. 2011 16:11

Zdravím, potřebovala bych pomoc s jedním detailem při důkazu konvergence geometrické řady.

To, že řada je konvergentní právě tehdy, když je $|q| < 1$ , dokázat umím, ale právě během toho důkazu vzešlo, že jestliže řada má mít konečný součet (má být konvergentní), musí být její limita rovna nule: $\lim_{n\infty}q^n = 0$
Proč musí být rovna nule?

Předem díky za osvětlení

standyk · 23. 05. 2011 16:14

Podla mňa pretože $|q| < 1$ . Cize q bude cislo mensie ako jedna ale vacsie ako -1. Co sa snim stane ked ho umocnis na velke cislo? Bude sa blizit k nule. Kedze n sa blizi do nekonecna - tato limita $\lim_{n\infty}q^n = 0$ sa ude blizit k nule.

halogan

↑ Aquabellla:

Nulová limita je takzvaná nutná podmínka konvergence. Každá řada (tedy i negeometrická) musí jít limitně do nuly, jinak automaticky diverguje.

Dá se to docela jednoduše dokázat:

Nechť

$\lim_{n \to \infty} a_n = A, A \in \mathrm{R}, A \neq 0$ (s +- nekonečnem nepočítám, důkaz bude ale obdobný).

BÚNO A > 0.

Pak

$\exists n_0, \forall n > n_0: a_n > A/2$

Z toho plyne i následující (mírnou oklikou):

$S = \lim_{n \to \infty} s_n \geq \lim_{n \to \infty} n \frac A2 = +\infty$

Z čehož plyne divergence $\{a_n\}$ . ( $s_n$ je posloupnost částečných součtů, $S$ součet řady)

---

Důkaz je dost hrubý a počítá s tím, že některé věty znáš (nerovnost limit na základě nerovnosti hodnot posloupností atd.) a není prostě uhlazený. Princip je ale snad jasný.

Aquabellla · 23. 05. 2011 16:39

↑ standyk:
jasně, mě vůbec nenapadlo to brát jako klesající exponenciální funkci pro q > 0... a pro q < 0 je oscilující, tak snad se po mě nebude chtít nějaký extra větší důkaz :-)
dík moc!

↑ halogan:
díky moc za tvůj čas a trpělivost a doufám, že jednoho dne ten tvůj postup a látku kolem toho pochopím... ztrácím se u A/2 a pak u $\lim_{n \to \infty} n \frac A2$
ale jestli se ti do toho nechce, tak nemusíš vysvětlovat do hloubky, potřebovala jsem si jen uvědomit tu nulu, abych věděla, jak to případně zdůvodnit před maturitní komisí pokud si vytáhnu řady a budu muset dokazovat konvergenci

Phate · 23. 05. 2011 16:53

↑ Aquabellla:
Jde o to, ze ta posloupnost bude zdola omezena nejakym nenulovym cislem. Vem si, ze bys treba vedela, ze plati: $\forall n: a_n > A$ , kdybys mela napriklad posloupnost $a_n=q^n+1$ pro $0<q<1$ , tak je jasny, ze kazdy jeji clen bude vetsi nez 1, proto muzes rict, ze soucet n clenu takoveto rady, tedy $\sum_{i=1}^{n}{a_n} \geq n*1$ , protoze vpravo mame soucet n clenu(scitame n-krat jednicku), ktery jsou kazdy mensi nez kterykoli ze clenu vlevo, je to jakasi dolni mez pro tu radou, kterou si zvolis a kdyz budes scitat nekonecne clenu, tak na prave strane ti $n$ pujde do nekonecna a rada tedy musi divergovat. Kdyz to ted nevezmeme pro 1, ale pro nejake obecne male A, tak obecne plati, ze $\forall A, A>0: \lim_{n \to \infty} A*n = \infty$ , z toho tedy vychazi, ze aby ti rada konvergovala, tak musi platit, ze $\lim_{n \to \infty}{a_n}=0$ . Napsal jsem to dost nematematicky a asi me tu ukamenujete, ale snad to jde trochu pochopit.

Rumburak

↑ Aquabellla:

Větu o nutné podmínce konvergence lze obecně dokázat i takto: Nechť $s_n := a_1 + a_2 + ... + a_n$ .

Jestliže $\lim_{n \to \infty} s_n = L \in \mathbb{R}$ , což je případ, který podle definice nazýváme konvergencí řady $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ ,

potom je zřejmé, že rovněž $\lim_{n \to \infty} s_{n+1} = L$ . Podlě věty o aritmetice vlastních limit existuje též limita

$\lim_{n \to \infty} (s_{n+1} - s_n ) = \lim_{n \to \infty} s_{n+1} - \lim_{n \to \infty}s_n = L - L = 0$ .

Avšak $s_{n+1} - s_n = a_{n+1}$ , takže $\lim_{n \to \infty} a_{n +1} = 0$ a tedy také $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ .