Matematické Fórum

jancidubova

vysetri konvergenciu radu
(pomocou porovnavacich kriterii , d Alembertovho podieloveho alebo Cauchyho odmocninoveho)
$\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{n(n-1)}$
$\sum_{n=2}^{\infty}$

otazky

1/ v zadani su uvedene kriteria - to znamena , ze pomocou inych sa neda urcit konvergencia ?
2/ z Demidovica vidim, ze ked ide suma od 2 , tak rad konverguje , bude tomu tak aj od 1 ?
(akurat neviem ako sa k tomu dopracovali )
3/ akou najlepsou cestou sa vydat ? totiz na jednej hodine dokonca nas pan vyucujuci sa "trapil" hodinu s jednym porovnavajucim kriteriom a to uz ma svoje roky ! , sa necudujem ze z tychto poslednych pisomiek som skoncil na 0b :(

dakujem vopred za vsetko "!

wolfram to vidi takto ...
n=1

n=2

Rumburak · 24. 05. 2011 11:49

Ad 1/ Doporučení třech metod neznamená, že by to nešlo jinak.

Ad 2/ Děmidovič se asi chtěl vyhnout otázce jak definovat prvý člen, tj. hodnotu 0^0 .
Obecně platí, že konečný počet členů konvergenci řady neovlivní.

Ad 3/ Neljepší cestou by bylo vyzkoužet více možností. I když by některá z nich nevedla k cíli, získal bys cennou zkušenost
pro další úlohy. Když by mi šlo o čas, tak bych zde přednostně zkusil Cauchyovo limitní kriteriium.

jancidubova

↑ Rumburak:Cauchyho limitne znamena Cauchyho odmocninove ? a eistuje este Cauchyho integralne... dakujem

takto ?
$\lim_{n\to +\infty}$ $\sqrt[\infty] {\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{n(n-1)}}$
spravne som to pochopil ...?

lenze cosi mi tu aj tak nehraje... vsak je rozdiel ked ide rad od 2 a od 1 ... a v tejto limite am zahrnute len nekonecno, iba ak by som mal dve limity ...

Rumburak

↑ jancidubova:
Pro výpočet limity poloupnosti není podstatné, kterou hodnotou indexu začíná.

Ale $\sqrt[\infty] {\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{n(n-1)}}$ (s odmocnitelem $\infty$ ) není definovaný výraz,
takže z něho ani nejde počítat limitu. Co tam mělo být správně ?

PS. Pro vyšetřování konvergence řad speciálních vlastnotí existuje též tzv. integrální kriterium ,
ale neslyčel jsem, že by se nazývalo "Cauchyovo i. k.".

jancidubova

↑ Rumburak: v Demidovicovi je pisane Cauchyho integralne kriterium, to mam odtial...

a tu definiciu som ocividne nepochopil kedze to nemoze byt nekonecna odmocnina / vsak sa mi to zdalo cudne.../ premyslam aka ta mma byt hodnota n ... no ako pozeram napr.
$\lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n] {\frac {\log n}{n}}=\lim_{n\rightarrow\infty} e^{\frac{1}{n}\log\left(\frac {\log n}{n}\right)} = 1$ tak tam ma byt len "n -ta odmocnina " cize staci len spocitat spominanu limitu z $\sqrt[n] {\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{n(n-1)}}$ ...

Rumburak · 24. 05. 2011 14:16

↑ jancidubova:
Ano, jako odmocnitel tam mělo být n . Co to udělá s exponentem n(n-1) , který je ve výraze pod n-tou odmocninou ?

jancidubova

↑ Rumburak:zatial som prisiel na toto... resp toto

Rumburak napsal(a):
↑ jancidubova:
Co to udělá s exponentem n(n-1) , který je ve výraze pod n-tou odmocninou ?

Cize ostane n-1 ak som pochopil spravne pravidla o odmocninach

Rumburak · 24. 05. 2011 14:23

↑ jancidubova:
Na to ale přišel Wolfram. Na co jsi přišel Ty ?

jancidubova · 24. 05. 2011 14:26

↑ Rumburak: ${\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{(n-1)}}$ ?

Rumburak

↑ jancidubova:
Ano, to je správná úprava našeho výrazu $\sqrt[n]{a_n}$ . No a z toho máme spočítat limitu pro n ---> oo .

jancidubova

↑ Rumburak: a opat k nasim "slavnymi" limitam...

$\lim_{n\to +\infty} e^{n-1}ln\left(\frac{n-1}{n+1}\right)$ ?

jarrro · 24. 05. 2011 15:21

↑ jancidubova:načo to prevádzaš na exponenciálu ako ti o pomôže? nie je jednoduchšie
${\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{(n-1)}}= {\left(1+\frac{-2}{n+1}\right)^{(n-1)}}= {\left(1+\frac{-2}{n+1}\right)^{(n+1)}}\cdot {\left(1+\frac{-2}{n+1}\right)^{-2}}$ ?

jancidubova · 24. 05. 2011 15:30

↑ jarrro: ano , mas pravdu, polrocna obsencia od limit sa potvrdila ... pomaly sa mi zacina vyjasnovat este posledny krok a je to .... :)

Rumburak

↑ jancidubova:
Pokud tím bylo míněno

$\lim_{n\to +\infty} \mathrm{e}^{(n-1)\ln\left(\frac{n-1}{n+1}\right)}$ ,

pak tudy by asi vedla cesta k cíli, když bychom to napasovali na některou známou limitu.
Jako jednodušší mi připadá použít úpravu

$\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{n-1}=\left(\frac{n+1-2}{n+1}\right)^{n-1}=\left(1 + \frac{-2}{n+1}\right)^{n-1}=\left(1 + \frac{-2}{n+1}\right)^{-2}\left(1 + \frac{-2}{n+1}\right)^{n+1}$ .

Jak to vypadá s limitami obou činitelů vpravo ?

EDIT. Viz rychlejší ↑ jarrro:.

jancidubova

ano, ospravedlnujem sa v tex/e som zatial len v zaciatkoch
$\lim_{n\to +\infty} \mathrm{e}^{(n-1)\ln\left(\frac{n-1}{n+1}\right)}$ presne takto som to myslel

....ta prava strana $\left(1 + \frac{-2}{n+1}\right)^{-2}\left(1 + \frac{-2}{n+1}\right)^{n+1}$ mi cosi hovori, len musim pozriet do zimneho semestra, mozno sa mi hned vyjasni ...

jancidubova

↑ Rumburak:
prvy clen je ocividne 1 po dosadeni nekonecno za n ... staci takto vyargumentovat ?

a druhy
$\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac ax\right)^x=e^a$ :) cize $e^{-2}$

vysledok po uprave $\frac{1}{e^{-2}}$

teda teraz mozno skonstatvat ze rad konverguje ? , ...
....no ale mame rad od n = 1 i od n=2 , ako nam pomohol vysledok limity pri tychto odlisnych intervaloch ? :) dik

jarrro · 24. 05. 2011 16:27

↑ jancidubova:áno

jancidubova · 24. 05. 2011 16:29

↑ jarrro: medzitym som editoval prispevok a pribudli dalsi otaznky ... :)

jarrro · 24. 05. 2011 16:40

↑ jancidubova:konečný počet členov konvergenciu neovplyní len súčet sa zmení a pre n=1 vyjde 0^0 čo je nedefinované mohlo by sa dodefinovať jednotkou ako príslušnú limitu,ale načo?

Rumburak · 24. 05. 2011 16:47

↑ jancidubova:

$e^{-2}$ po úpravě je $\frac{1}{e^{2}}$ (nikoliv $\frac{1}{e^{-2}}$ ) .

Limita činitele $\left(1 + \frac{-2}{n+1}\right)^{-2}$ je 1 , takže limita součinu $\left(1 + \frac{-2}{n+1}\right)^{-2}\left(1 + \frac{-2}{n+1}\right)^{n+1}$

je součin limit činitelů, tedy $1\cdot \frac{1}{e^{2}} =\frac{1}{e^{2}}$ , což je kladné číslo menší než 1, takže Cauchyovo odmocninové kriterium říká,
že řada, kterou jsme zkoumali, konverguje.

Tomu poslednímu dotazu ale nerozumím. Jaké intervaly máš na mysli ? Co mají s limitou nebo konvergencí té řady společného
čísla n=1 nebo n = 2 ?

jancidubova · 24. 05. 2011 16:51

↑ jarrro: ok ,cize vyratam limitu a ale treba slovne apon uviest pri vypocte tomto rade iducom od 1, ze je nedefinovany , takze dodefinujeme napr n berieme od 2 ...

jancidubova

↑ Rumburak: ano spravil som preklep ani som si to akosi neuvedomil , dik

na tu definiciu, ktoru som sem vlozil som uz aj zabudol , ale konecne s VASOU oboch pomocou som vyratal vobec prvy rad :) ..sustredil som sa na limitu a ze co s vysledkom to mi uz uplne vyfucalo , chce to cvik ... ako kedysi na ZS 5*9 = 45 ... :D

k tej poslednej otazke , tam si len treba uvedomit ze na n=1 je to nedefinovane a tak to treba uviest pri pocitani prikladu , lebo zbytocne stratim body...

dakujem este raz Vam obom hlavne za trpezlivost ... nic sa neda robit aplikovat treba vsetky doterajsie poznetky z VS :)

tak ak nie su ziadne namietky dodatky doplnky ? ak budem mat posledne slovo aj o cca 23 00 = oznacim ako vyriesene , pekny horuci den

Matematické Fórum

#1 24. 05. 2011 11:33 — Editoval jancidubova (24. 05. 2011 12:00)

ciselne rady-kriteria konvergencie radu s konstantnym znamienkom

#2 24. 05. 2011 11:49

Re: ciselne rady-kriteria konvergencie radu s konstantnym znamienkom

#3 24. 05. 2011 12:04 — Editoval jancidubova (24. 05. 2011 12:54)

Re: ciselne rady-kriteria konvergencie radu s konstantnym znamienkom

#4 24. 05. 2011 13:50 — Editoval Rumburak (24. 05. 2011 13:58)

Re: ciselne rady-kriteria konvergencie radu s konstantnym znamienkom

#5 24. 05. 2011 14:08 — Editoval jancidubova (24. 05. 2011 14:13)

Re: ciselne rady-kriteria konvergencie radu s konstantnym znamienkom

#6 24. 05. 2011 14:16

Re: ciselne rady-kriteria konvergencie radu s konstantnym znamienkom

#7 24. 05. 2011 14:21 — Editoval jancidubova (24. 05. 2011 14:23)

Re: ciselne rady-kriteria konvergencie radu s konstantnym znamienkom

Rumburak napsal(a):

#8 24. 05. 2011 14:23

Re: ciselne rady-kriteria konvergencie radu s konstantnym znamienkom

#9 24. 05. 2011 14:26

Re: ciselne rady-kriteria konvergencie radu s konstantnym znamienkom

#10 24. 05. 2011 14:30 — Editoval Rumburak (24. 05. 2011 14:31)

Re: ciselne rady-kriteria konvergencie radu s konstantnym znamienkom

#11 24. 05. 2011 15:01 — Editoval jancidubova (24. 05. 2011 15:02)

Re: ciselne rady-kriteria konvergencie radu s konstantnym znamienkom

#12 24. 05. 2011 15:21

Re: ciselne rady-kriteria konvergencie radu s konstantnym znamienkom

#13 24. 05. 2011 15:30

Re: ciselne rady-kriteria konvergencie radu s konstantnym znamienkom

#14 24. 05. 2011 15:32 — Editoval Rumburak (24. 05. 2011 15:34)

Re: ciselne rady-kriteria konvergencie radu s konstantnym znamienkom

#15 24. 05. 2011 15:44 — Editoval jancidubova (24. 05. 2011 15:46)

Re: ciselne rady-kriteria konvergencie radu s konstantnym znamienkom

#16 24. 05. 2011 16:18 — Editoval jancidubova (24. 05. 2011 16:28)

Re: ciselne rady-kriteria konvergencie radu s konstantnym znamienkom

#17 24. 05. 2011 16:27

Re: ciselne rady-kriteria konvergencie radu s konstantnym znamienkom

#18 24. 05. 2011 16:29

Re: ciselne rady-kriteria konvergencie radu s konstantnym znamienkom

#19 24. 05. 2011 16:40

Re: ciselne rady-kriteria konvergencie radu s konstantnym znamienkom

#20 24. 05. 2011 16:47

Re: ciselne rady-kriteria konvergencie radu s konstantnym znamienkom

#21 24. 05. 2011 16:51

Re: ciselne rady-kriteria konvergencie radu s konstantnym znamienkom

#22 24. 05. 2011 16:59 — Editoval jancidubova (24. 05. 2011 17:55)

Re: ciselne rady-kriteria konvergencie radu s konstantnym znamienkom

Zápatí