Matematické Fórum

Maros · 24. 05. 2011 22:56

Zdravím mam problem s tymto prikladom "Nájdite moment zotrvačnosti rovnorodej kruhovej dosky hmotnosti m a polomeru R vzhľadom na os spadajúcu do smeru priemeru" vysledok by mal byt I=(mr^2)/4 viem to vypocitat ak je os kolma na plochu dosky a prechadza stredom ale neviem ako to mam pocitat ked ta os ide do smeru priemeru.

zdenek1 · 24. 05. 2011 23:47

↑ Maros:

rotuje to kolem osy $y$
element tloušťky $\Delta y$ je vlastně tenká tyč, takže její moment setrvačnosti $dJ=\frac1{12}dm(2x)^2$ . Když bude mít deska plošnou hustotu $\varrho$ , tak $dm=\varrho dy2x$
$dJ=\frac23\varrho x^3dy$

kružnice má rovnici $x^2+y^2=R^2\ \Rightarrow\ x=\sqrt{R^2-y^2}$
$J=2\int_0^RdJ=2\int_0^R\frac23\varrho(R^2-y^2)^{\frac32}dy=\frac43\varrho\int_0^R(R^2-y^2)^{\frac32}dy$

ten integrál jsem teda nepočítal, ale stroj tvrdí, že
$\int_0^R(R^2-y^2)^{\frac32}dy=\frac18\left[y(5R^2-2y^2)\sqrt{R^2-y^2}+3R^4\arctan\left(\frac y{\sqrt{R^2-y^2}}\right)\right]_0^R$
což sice vypadá dost hrozně, ale téměř vše se vynuluje
$=\frac18[R3R^2\cdot0+3R^4\frac\pi2]-\frac18[0]=\frac3{16}R^4\pi$

Takže $J=\frac43\varrho\frac3{16}R^4\pi=\frac14R^2\pi R^2\varrho$ a protože $\pi R^2\varrho=m$ dostáváš
$J=\frac14mR^2$

Matematické Fórum

#1 24. 05. 2011 22:56

Momento zotrvacnosti ..problem s osou

#2 24. 05. 2011 23:47

Re: Momento zotrvacnosti ..problem s osou

Zápatí