Matematické Fórum

michal p · 25. 05. 2011 19:20

Dobrý den,
potřebuji pomoct s řešením diferenciální rovnice (Lagrangeovou rovnicí)

Má tvar: y=xy´²+y´²

Děkuji za rady, nějak si s tím nevím rady.

Geronimo · 25. 05. 2011 20:07

$y & = x(y')^2+(y')^2 \\ p & =y' \\ y & = xp^2+p^2 \text{(*)} \\ y' & =p = p^2+2xpp'+2pp'\\ p-p^2 & = p'(2xp+2p) \\ p' & = \frac{p(1-p)}{2p(x+1)} \\ \frac{dp}{dx} & = \frac{1-p}{2(x+1)}\\ \frac{dp}{1-p} & = \frac{dx}{2(x+1)} \\ \int\frac{dp}{1-p} & = \int\frac{dx}{2(x+1)}\\$

Integraly uz zvladnes vypocitat sam. Potrebujes vyjadrit p a to potom dosadis do rovnice oznacene (*) a mas vysledek.

michal p · 25. 05. 2011 23:01

Díky moc, je to vlastně jednoduché. Jen mě nenapadlo převést p´ na zlomek dp/dx. Ještě jednou díky, moc si mi pomohl.

michal p · 27. 05. 2011 06:41

Mohl bych se zeptat ještě na jeden?

2y=xy´²/y´+2

Díky.

Geronimo · 27. 05. 2011 18:57

↑ michal p:

Za prvé: Pro nový příklad bys měl založit nové téma.

Za druhé: Nevyznám se v tom zápisu:

Má to být $2y=\frac{x(y')^2}{y'} +2$ nebo $2y=\frac{x(y')^2}{y'+2}$ nebo snad dokonce něco jiného?

michal p · 28. 05. 2011 00:06

Je to ten druhý příklad. Neumím si s tím nějak poradit. Budu rád, za každou pomoc.

Geronimo · 28. 05. 2011 16:44

V tom by nemel byt zadny problem.

Opet se postupuje substituci $y'=p$ .
Nahradime vsude derivace y za parametr a celou rovnici potom derivujeme podle x.
Tady ale pozor na derivovani p, protoze je zavisla na x.
Proto $(f(p))'=f'(p)p'$ .
Znovu potrebujeme vyjadrit p, ktery dosadime do te puvodni rovnice s parametrem p pred derivavovanim.

Pokud by byl problem (dilci, ne ze to budes chtit vypocitat cele), tak se ozvi.

michal p · 29. 05. 2011 18:06

To chápu, ale nevím si rady s tím derivováním. Můžeš mi prosím jen napsat tu rovnici po derivování? Díky

Geronimo · 29. 05. 2011 21:02

$2y & =\frac{x(y')^2}{y'+2} \\ y' & = p \\ 2y & =\frac{xp^2}{p+2} \\ & \text{derivujeme} \\ 2p & =\frac{2pp'(p+2)-xp^2p'}{(p+2)^2}$

Nasledne si vyjadri $p'$ a potom to rozepis na $\frac{dp}{dx}$ a pokracuj jako v predchozim priklade.

michal p · 30. 05. 2011 13:06

Díky za vše, už jsem to konečně vypočítal. A k tomu příspěvku před tím. Máš to špatně zderivováno.

Matematické Fórum

#1 25. 05. 2011 19:20

Lagrangeova rovnice

#2 25. 05. 2011 20:07

Re: Lagrangeova rovnice

#3 25. 05. 2011 23:01

Re: Lagrangeova rovnice

#4 27. 05. 2011 06:41

Re: Lagrangeova rovnice

#5 27. 05. 2011 18:57

Re: Lagrangeova rovnice

#6 28. 05. 2011 00:06

Re: Lagrangeova rovnice

#7 28. 05. 2011 16:44

Re: Lagrangeova rovnice

#8 29. 05. 2011 18:06

Re: Lagrangeova rovnice

#9 29. 05. 2011 21:02

Re: Lagrangeova rovnice

#10 30. 05. 2011 13:06

Re: Lagrangeova rovnice

Zápatí