Matematické Fórum

Vojta_1

Ahoj, zdravím všechny. Zkoušel jsem si na státní maturitu vypočítat zadání testů, které byly vydané v roce 2011 ve vyšší verzi. Narazil jsem na zapeklitý příklad, ve kterém - na vzdory všem zákonům matematiky a logiky - vychází záporná velikost. Celé zadání naleznete na stránkách Nové maturity (http://www.novamaturita.cz/ilustracni-t … 34781.html) a test se nachází v dolní části stránky.

Ale pro zjednodušení sem napíšu zadání:

nejdůležitější pro celý výpočet je výška lichoběžníku, kterou neznám. Proto jsem podle logické úvahy jsem si v lichoběžníku vztyčil 2 výšky (dále jen v), které mi v lichoběžníku vytvořily obdélník (o stranách 8 cm a v cm) a 2 pravoúhlé trojúhelníky (ADX a CBY). První se stranami 6 cm, v a x a druhý trojúhelník se stranami 4 cm, v a y.Vím tedy, že součet stran trojúhelníků x + y = 12 - 8 tedy 4 cm. Tím mám jednu rovnici.

Zároveň ale vím, že velikost strany v v trojúhelníku ADX se rovná velikosti strany v v trojúhelníku CBY. Za pomoci Pythagorovy věty si tedy vyjádřím velikosti stran v, které musí být stejné. Vyjde mi tedy: $\sqrt{(6)^2+(x)^2} = \sqrt{(4)^2+(y)^2}$ . Po dopočítání vyjde velikost strany x = $\frac9 2$ a y= $\frac{-1} 2$

Co z toho vyplývá?
Vychází mi záporná velikost strany y, ale zároveň jsou všechny rovnice platné.

Napadá tedy někoho, jak vypočítat výšku v lichoběžníku ABCD? Dalším postup by pokračoval výpočtem obsahu lichoběžníku ABCD a odečtením obsahu trojúhelníku ACB. Tím zjistím velikost obsahu trojúhelníku ADC a pomocí trojčlenky zjistím kolik procent tvoří obsah trojúhelníku ACD z lichoběžníku ABCD.

i pokud se podívám na stránky Wolfram Alpha (http://www.wolframalpha.com/input/?i=x% … 2%2By^2%29) tak my vychází výsledky velikostí stran x = $\frac9 2$ a y= $\frac{-1} 2$

=>
Znamená to tedy, že mi vzdálenost vyjde záporná?????

Dana1 · 25. 05. 2011 20:56

↑ Vojta_1:

Na mňa je to momentálne príliš veľa písmeniek... povedala by som, že záporná strana proste byť nemôže.

Ak chceš riešiť zadanú úlohu, možno pomôže uvedomiť si, že zistiť, akú časť obsahu lichobežníka tvorí trojuholník ABC je jednoduché ...

Anonymystik

↑ Vojta_1
: Obsah lichoběžníku se počítá S1 = (1/2) * (a+c) * v, kde a, c jsou délky základen AB, CD, v je výška. Obsah tvého trojúhelníka ACD je zřejmě S2 = (1/2) * c * v. Poměr části ku celku je S2/S1 =[ (1/2) * c * v] / [(1/2) * (a+c) * v] = c / (a+c) = 8 / (12 + 8) = 8/20 = 0,4 = 40%.
Jinak výšku vlastně vůbec nepotřebuješ znát, protože se ti chytře "požere" při krácení.

Pavel Brožek

↑ Vojta_1:

Ten lichoběžník bude vypadat asi nějak takhle:

Je pak jasné, proč vychází záporné y?

↑ Anonymystik:

V jednom mezikroku máš „(a+c) / c “, má být ale „c/(a+c)“.

Anonymystik · 25. 05. 2011 22:47

↑ Pavel Brožek: Jo, pardon. Už jsem to opravil.

jelena · 25. 05. 2011 23:06

↑ Dana1:, ↑ Pavel Brožek:, ↑ Anonymystik:

děkuji, ještě si myslím, že Pythagorova věta u kolegy ↑ Vojta_1: není úplně v pořádku, ale snad jen překlep.

Zdravím.

jelena · 26. 05. 2011 09:23

Zdravím vás,

reaguji na příspěvek Dany v připominkách

Můj názor je, že autor tématu nemá problém s výpočtem obsahu trojúhelníku:

Vojta_1 napsal(a):
Napadá tedy někoho, jak vypočítat výšku v lichoběžníku ABCD?

Dalším postup by pokračoval výpočtem obsahu lichoběžníku ABCD a odečtením obsahu trojúhelníku ACB.

Tím zjistím velikost obsahu trojúhelníku ADC a pomocí trojčlenky zjistím kolik procent tvoří obsah trojúhelníku ACD z lichoběžníku ABCD.

Kolega má problém s pochopením faktu "záporné délky"

Bohužel, ani příspěvek Dany, ani příspěvek Honzy na tento problém nereaguje. Proto jsem příspěvek Honzy neposoudila, jako kompletní řešení.

Uznávám, že můj příspěvek v "Přívolej Moderátora" mohl mít vážnější charakter, jak se sluší na takové téma. Za to se omlouvám.

Děkuji za další názory.

Cheop · 26. 05. 2011 10:18 — Editoval Cheop (26. 05. 2011 13:20)

↑ jelena:
Ten lichoběžník tak jak je zadán vypadá takto:

Z toho je jasné proč to vychází zaporně (-1/2)
Výpočet:
$x^2+v^2=36\\y^2+v^2=16\\x^2-y^2=20\\(x+y)(x-y)=20$
$x+y=12-8\\x+y=4$
$4(x-y)=20\\x-y=5$
$x+y=4\\x-y=5\\2x=9\\x=\frac 92\\y=x-5\\y=\frac 92-5\\\color{red}y=-\frac 12$
$x^2+v^2=36\\v^2=36-\frac{81}{4}\\v=\frac{\sqrt{63}}{2}$
Obsah lichoběžníku:
$S_l=\frac{(12+8)\sqrt{63}}{4}=5\sqrt{63}$
Obsah trojúhelníku ABC
$S_t=\frac{12\sqrt{63}}{4}=3\sqrt{63}$
Poměr
$\frac{S_t}{S_l}=\frac{3\sqrt{63}}{5\sqrt{63}}=\frac 35$ (60 %)
Obsah trojúhelníku ACD
$S_x=1-\frac 35=\frac 25$

Obsah trojúhelníku ACD tvoří 40 % obsahu lichoběžníku ABCD.

Moabiter · 26. 05. 2011 10:38

↑ Cheop: On právě vtip je v tom jak už napsal ↑ Anonymystik:, že pokud se po nás chce jen poměr tak není potřeba výšku vůbec počítat.

Cheop · 26. 05. 2011 10:48 — Editoval Cheop (26. 05. 2011 10:52)

↑ Moabiter:
To já chlapče dobře vím, ale dal jsem sem ten výpočet proto, aby bylo jasné
proč vychází ta -1/2
Ano mohlo to být takto:
$S_l=\frac{20v}{2}=10v\\S_t=\frac{12v}{2}=6v$
Poměr je $\frac{6v}{10v}=\frac 35$

jelena · 26. 05. 2011 11:53

Děkuji za názory.

Rekapitulace:

1) úvodní problém kolegy s výskytem záporné hodnoty při výpočtu délky strany vysvětlili kolegové:

↑ Pavel Brožek:, ↑ Cheop:.

2) více efektivní řešení (s využitím poměru, při kterém není třeba číselný výpočet výšky) poskytli kolegové:

↑ Anonymystik:, ↑ Moabiter:, ↑ Cheop:

My jsme si s Danou popřaly hezký den a, doufám, že to nám docela stačí pro radost :-)

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Soutěž jsem vyhlásila a dle pravidel si můžete zapsat na nástěnku (třeba sem), děkuji.

↑ Cheop: snad oslovení "kolego" je zde více zvyklé. Je tak? Děkuji :-)

Honzc · 26. 05. 2011 12:39

↑ Cheop:
Čau, (chlapče-kolego)
nevím proč tak složitě (vyjádření nejdříve jednoho trojúhelníku, pak odečtení a pak podíl), když to jde takto jednoduše:
(trojúhelník i lichoběžník mají stejné výšky, jedná se o poměr ploch, vzorečky pro obsahy lichoběžníku a trojúhelníku jsou podobné-jak by ne, když se lichoběžník dá rozložit na dva trojúhelníky)
$p=\frac{8}{12+8}=\frac {4}{10}=0.4$

Cheop · 26. 05. 2011 12:56

↑ Honzc:
Čau, to je velice pěkné řešení a
nemusí se řešit proč to vyjde (-1/2)

jelena · 26. 05. 2011 13:04

↑ Honzc:

klidně můžeš používat i oslovení "bratře", pokud jsi zvyklý. Už jsem chválila TeX? Hezký :-)

↑ Honzc:, ↑ Cheop:

Prosím vás, čtete se vůběc návzájem - myslím příspěvky dalších kolegů? Toto řešení už má ↑ Anonymystik:.

V zadaních statních maturit je přímo uvedeno, že obrázek nemusí odvídat relitě, nemá se brat za běrnou minci. V tom byl problém kolegy Vojty Tedy pokud by se setkal s jinou geometrickou úlohou s podobným problémem, tak aby neměl strach.

Že v případě procent vždy se hodí uvažovat poměr - to snad víme.

Ale to tady mohu omílat na všech místech, že ano?

Zdravím.

Honzc · 26. 05. 2011 13:24

↑ jelena:
Ale no tak, příspěvky kolegů občas taky čtu, ale zrovna v tom konkrétním to tam má jaksi pan kolega nepřehledné (to je tím, že nepoužil TeX), že jsem si toho nevšiml. A jinak poměry i poloměry jsou nám určitě známé.

teolog · 27. 05. 2011 20:12 — Editoval teolog (27. 05. 2011 20:13)

Měl jsem možnost řešit příklad s kolegou Vojtou osobně. Neměli jsme problém najít jiné a mnohem rychlejší řešení. Ale (nám) šlo o vysvětlení záporného výsledku u postupu, který nám oběma připadal správný (a k tomu dotaz směřoval).

Takže i za Vojtu děkuji Vám oběma (↑ Pavel Brožek:, ↑ Cheop:) za obrázek a Jeleně za snahu o pořádek (↑ jelena:).

Matematické Fórum

#1 25. 05. 2011 20:39 — Editoval Vojta_1 (25. 05. 2011 20:46)

státní maturita z Matematiky (vyšší) 2011, př. 14

#2 25. 05. 2011 20:56

Re: státní maturita z Matematiky (vyšší) 2011, př. 14

#3 25. 05. 2011 21:13 — Editoval Anonymystik (25. 05. 2011 22:47)

Re: státní maturita z Matematiky (vyšší) 2011, př. 14

#4 25. 05. 2011 22:28 — Editoval Pavel Brožek (25. 05. 2011 22:36)

Re: státní maturita z Matematiky (vyšší) 2011, př. 14

#5 25. 05. 2011 22:47

Re: státní maturita z Matematiky (vyšší) 2011, př. 14

#6 25. 05. 2011 23:06

Re: státní maturita z Matematiky (vyšší) 2011, př. 14

#7 26. 05. 2011 09:23

Re: státní maturita z Matematiky (vyšší) 2011, př. 14

Vojta_1 napsal(a):

#8 26. 05. 2011 10:18 — Editoval Cheop (26. 05. 2011 13:20)

Re: státní maturita z Matematiky (vyšší) 2011, př. 14

#9 26. 05. 2011 10:38

Re: státní maturita z Matematiky (vyšší) 2011, př. 14

#10 26. 05. 2011 10:48 — Editoval Cheop (26. 05. 2011 10:52)

Re: státní maturita z Matematiky (vyšší) 2011, př. 14

#11 26. 05. 2011 11:53

Re: státní maturita z Matematiky (vyšší) 2011, př. 14

#12 26. 05. 2011 12:39

Re: státní maturita z Matematiky (vyšší) 2011, př. 14

#13 26. 05. 2011 12:56

Re: státní maturita z Matematiky (vyšší) 2011, př. 14

#14 26. 05. 2011 13:04

Re: státní maturita z Matematiky (vyšší) 2011, př. 14

#15 26. 05. 2011 13:24

Re: státní maturita z Matematiky (vyšší) 2011, př. 14

#16 27. 05. 2011 20:12 — Editoval teolog (27. 05. 2011 20:13)

Re: státní maturita z Matematiky (vyšší) 2011, př. 14

Zápatí