Matematické Fórum

Petrsuk · 24. 05. 2011 11:03

Ahoj,
potřeboval bych pomoci s tímto příkladem: Najděte absolutní extrémy fce $f(x,y)=x^2+(y+4)^2$ na množině $(x-6)^2+(y-2)^2-1=0$

absolutni extremy fce vice promenych umim hledat timto zpusobem
absolutni extremy

ale zde tento zpusob neumim nejak aplikovat, akorat vim, ze se jedna o rovnici kruznice se stredem $S[6,2], r=1,$

Dekuji moc za pripadnou pomoc :D

Geronimo

I. Zjistis stacionarni body funkce $f(x,y)$ a funkcni hodnotu v tech bodech (nemusis se zabyvat, jestli jde vubec o extremy, staci jen ta funkcni hodnota)
II. Mnozina je kruznice o polomeru 1 se stredem v bode [6,2], jak jsi napsal.
Tuto kruznici si muzes rozdelit na dve funkce:
$(x-6)^2+(y-2)^2=1$
$(y-2)^2=1-(x-6)^2$
$|y-2|=\sqrt{1-(x-6)^2}$
$y_1=\sqrt{1-(x-6)^2}+2$
$y_2=-\sqrt{1-(x-6)^2}+2$
Tyto rovnice dosadis do puvodni funkce $f(x,y)$ za y.
Dostanes jiz funkce jen s jednou promenou a budes hledat stacionarni body a jejich funkcni hodnoty.
III. Zbyva jen vysetrit funkcni hodnoty v krajnich bodech - tj. $A=[5,2], B=[7,2]$
IV. Absolutni minimum(maximum) bude v tom z predchozich bodu, kde je funkcni hodnota nejmensi(nejvetsi).

Geronimo · 24. 05. 2011 12:32

Kdyz nad tim jeste tak uvazuju, nemela ta mnozina byt definovana nejen jako kruznice, ale take jako jeji vnitrek - tj. $(x-6)^2+(y-2)^2-1\leqq0$ ?

Petrsuk

↑ Geronimo: nene, bylo to s "rovnítkem" jinak moc děkuji, večer až budu mít čas, tak si to pořádně promyslím...

mozna bych se ještě zeptal na toto: jak se přišlo na ty krajní body, $A=[5,2], B=[7,2]$ ?

Geronimo · 24. 05. 2011 14:43

↑ Petrsuk:

Pokud se teda jedna jen o kružnici, tak přeskoč bod I.

Ty body jsou průsečíky kružnice s přímkou rovnoběžnou s osou x a procházející středem kružnice.
Musíme ještě vyšetřit funkci $f(x,y)$ v těchto bodech, protože v okolí těchto bodů není rovnicí zadaná žádná funkce proměnné x (zkus si ty body dosadit do y1,y2 a uvidíš).

Pozn. Kdybys vyjádřil místo y v II. kroku x, tak dostaneš opět dva body, ve kterých není definovaná funkce proměnné y a byly by to body $C=[6,3] , D=[6,1]$

Petrsuk · 27. 05. 2011 21:22

↑ Geronimo:perfektně vysvětleno. Moc Ti děkuji!

Matematické Fórum

#1 24. 05. 2011 11:03

absolutní extrémy

#2 24. 05. 2011 12:27 — Editoval Geronimo (24. 05. 2011 14:44)

Re: absolutní extrémy

#3 24. 05. 2011 12:32

Re: absolutní extrémy

#4 24. 05. 2011 13:38 — Editoval Petrsuk (24. 05. 2011 13:48)

Re: absolutní extrémy

#5 24. 05. 2011 14:43

Re: absolutní extrémy

#6 27. 05. 2011 21:22

Re: absolutní extrémy

Zápatí