Matematické Fórum

gsdv · 25. 05. 2011 10:13

Zdravím,
opět se vyskytl problém s integrálem a to s tímto:

$\int\frac{x}{x^2-3x+3}$

MAW mi nabízí rozložení podle tohoto vzorce:

$\int\alpha\frac{f'(x)}{f(x)}+\beta\frac{1}{A^2+x^2}dx$

ale nějak nerozumím jak do něj dosadit, co je alfa, beta, a to f'(x) je derivovaná celá funkce nebo jenom jmenovatel?

a ještě jeden vzorec se mi nabídne když je ten integrál takový: $\int\frac{1}{x^2-3x+3}$
a ten vzorec je jenom: $\int\frac{1}{A^2+x^2}dx$

je jich ještě víc? nějak se v tom neorientuju

halogan · 25. 05. 2011 10:21

Pokud máš v čitateli derivaci jmenovatele, tedy

$\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,\mathrm{d}x$ ,

pak to vypadá, že by se to mohlo rovnat $\log |f(x)| + C$ (ověř derivací).

Proto nejprve původní zlomek pronásobíme 2/2 (tu polovinu hodíme před integrál) a dostaneme:

$\frac 12 \int \frac{2x}{x^2 - 3x + 3}\,\mathrm{d}x = \frac 12 \int \frac{2x - 3 + 3}{x^2 - 3x + 3}\,\mathrm{d}x$

Je jasné, kam tím mířím?

---

(nejprve vyřešíme ty logaritmy, ten druhý zlomek z konce tvého příspěvku bude na řadě potom, taky se k němu dostaneme)

gsdv · 25. 05. 2011 10:35

↑ halogan:

To s tou 1/2 mi právě jasné není, proč se to vlastně dělá, totéž se myslím provádí i u druhé části toho vzorce

Cheop · 25. 05. 2011 10:41

↑ gsdv:
Ta 1/2 je tam proto, aby se nezměnila hodnota integrálu a v čitateli bylo 2x jako derivace x^2

halogan · 25. 05. 2011 10:41

Protoze v citateli potrebuji 2x (spocitej si derivaci jmenovatele a uvidis). Proto nasobim, pak odectu trojku (dalsi cast derivace) ale musim ji zase pricist.

Rozdelim na dva integraly...

gsdv · 25. 05. 2011 16:38

↑ Cheop:↑ halogan:

Děkuju oběma.

halogan · 25. 05. 2011 16:56

↑ gsdv:

No ale ještě nejsme zdaleka u konce. Jak tedy budete postupovat dále?

gsdv · 25. 05. 2011 18:26

↑ halogan:

No popravdě si nejsem úplně jistá, jmenovatel asi doplním na čtverec ale zase tam figuruje ta 1/2, to ju přičtu k té 1?

halogan · 25. 05. 2011 18:33

↑ gsdv:

Máme dva integrály, ten první je tedy jasný (logaritmus). Ten druhý půjde na arkus tangens.

Potřebujeme se dostat do tvaru

$\frac{A}{1 + $\frac{x-B}{C}$^2}$ ,

je jasné proč?

gsdv · 25. 05. 2011 18:44

↑ halogan:
No abych ho mohla snadno zintegrovat

halogan · 25. 05. 2011 18:47

↑ gsdv:

1) A na co nám to povede?

2) Jaká bude tedy naše úprava?

gsdv · 25. 05. 2011 18:59

↑ halogan:

Já asi nevím, mám před sebou výsledek který mi vyhodil MAW ale jak se k němu dospěje...

halogan · 25. 05. 2011 19:33

↑ gsdv:

Tak ještě jednou a jinak. Odpovídejte na body:

1) Podařilo se rozdělit na dva integrály?

2) Spočítal jste první integrál?

---

Na MAW se teď vykašlete. Řešení bude asi správně, ale akorát vás bude mást.

gsdv · 27. 05. 2011 18:46

↑ halogan:

1) No rozdělit to znamená že integrál napíšu před první zlomek a před druhý zlomek ne?

2) Ten první integrál je teda $\frac 12 \int \frac{2x}{x^2 - 3x + 3}\,\mathrm{d}x = \frac 12 \int \frac{2x - 3 + 3}{x^2 - 3x + 3}\,\mathrm{d}x$ a integruju dle vzorce 1/x=lnx, pak mi ale není jasné co s tou 2x v čitateli nebo to už je zahrnuto v 1/2 před integrálem? Asi to zní zmateně ale zmatená z toho jsem

Cheop · 27. 05. 2011 18:51 — Editoval Cheop (27. 05. 2011 18:54)

↑ gsdv:
Rozdělit ten integrál na 2 integrály znamená toto:
$\frac 12 \int \frac{2x}{x^2 - 3x + 3}\,\mathrm{d}x = \frac 12 \int \frac{2x - 3 + 3}{x^2 - 3x + 3}\,\mathrm{d}x=\frac 12\int\frac{2x-3}{x^2-3x+3} dx+\frac 12\int\frac{3}{x^2-3x+3} dx$
Po rozdělení na 2 integrály tedy dostaneš:
$\frac 12\int\frac{2x-3}{x^2-3x+3} dx+\frac 12\int\frac{3}{x^2-3x+3} dx$
První integrál vede na přirozený logaritmus a druhý integrál na arctg

halogan · 27. 05. 2011 18:52

$\frac 12 \int \frac{2x - 3 + 3}{x^2 - 3x + 3}\,\mathrm{d}x = \frac 12 $\int \frac{2x - 3}{x^2 - 3x}\,\mathrm{d}x+\int \frac{3}{x^2 - 3x + 3}\,\mathrm{d}x$$

Je jasné proč to tak je? A proč to dělám?

halogan · 27. 05. 2011 19:09

Poprosil bych kolegu Cheopa, aby tobza me prevzal. Ja dneska budu mimo pocitac a chci, aby se to doresilo.

Dik

gsdv · 27. 05. 2011 20:21

↑ Cheop:↑ halogan:

Áha, už to konečně vidím. Takže ten 2. ingrál bude: $3/2\int\frac{1}{({x-\frac32})^2+{\frac34}}$ ? A jak teda budu integrovat když říkaáte že to bude arctg který vznikne integrováním 1/(1+x^2), to se musím zbavit nějak těch 3/4?

LukasM · 27. 05. 2011 20:49

↑ gsdv:
Ano, je potřeba to převést na ten tabulkový integrál. Stačí ze jmenovatele vytknout ty 3/4 a máš tam jedničku, pak už je to jednoduchá substituce.

gsdv · 27. 05. 2011 21:36

↑ LukasM:

Jo jasně tak už se mě povedlo dobrat se zdárného konce! :)

Díky moc všem za čas a trpělivost, moc mi to pomohlo!!

Matematické Fórum

#1 25. 05. 2011 10:13

neurčitý integrál podruhé

#2 25. 05. 2011 10:21

Re: neurčitý integrál podruhé

#3 25. 05. 2011 10:35

Re: neurčitý integrál podruhé

#4 25. 05. 2011 10:41

Re: neurčitý integrál podruhé

#5 25. 05. 2011 10:41

Re: neurčitý integrál podruhé

#6 25. 05. 2011 16:38

Re: neurčitý integrál podruhé

#7 25. 05. 2011 16:56

Re: neurčitý integrál podruhé

#8 25. 05. 2011 18:26

Re: neurčitý integrál podruhé

#9 25. 05. 2011 18:33

Re: neurčitý integrál podruhé

#10 25. 05. 2011 18:44

Re: neurčitý integrál podruhé

#11 25. 05. 2011 18:47

Re: neurčitý integrál podruhé

#12 25. 05. 2011 18:59

Re: neurčitý integrál podruhé

#13 25. 05. 2011 19:33

Re: neurčitý integrál podruhé

#14 27. 05. 2011 18:46

Re: neurčitý integrál podruhé

#15 27. 05. 2011 18:51 — Editoval Cheop (27. 05. 2011 18:54)

Re: neurčitý integrál podruhé

#16 27. 05. 2011 18:52

Re: neurčitý integrál podruhé

#17 27. 05. 2011 19:09

Re: neurčitý integrál podruhé

#18 27. 05. 2011 20:21

Re: neurčitý integrál podruhé

#19 27. 05. 2011 20:49

Re: neurčitý integrál podruhé

#20 27. 05. 2011 21:36

Re: neurčitý integrál podruhé

Zápatí