Matematické Fórum

No že elementární úpravy máš:
- změna pořadí řádků
- nahrazení řádku matice jeho alfa-násobkem
- nahrazení řádku jeho součtem s alfa-násobkem jiného řádku
a prostě dokázat, že to tak je, že tyto úpravy matici nezmění.

Nějak nevím, jak začít.

Že se nezmění hodnost. Chci dokázat, že pokud upravím matici těmito ekvivalentními úpravami, tak původní a ta upravená matice jsou ekvivalentní, tzn. mají stejnou hodnost a když si řádky matice představím jako vektory, které tvoří bázi vektorového prostoru, tak že po elementární úpravě dostanu bázi téhož vektorového prostoru. Já teda doufám,že tomu dobře rozumím.

Zkrátka se učím na zkoušku z lineární algebry a jedna z otázek je důkaz - elementární úpravy matic.

To, že ty řádky jsou nezávislé jsem myslela jako samozřejmost, když mluvím o bázi.

Asi prostě nedokážu vysvětlit, co potřebuju.
Na tomto odkazu http://www.math.slu.cz/studmat/AlgebraI/5.pdf jsem našla tento důkaz:

Elementární řádkové úpravy odpovídají po řadě následujícím manipulacím s rovnicemi: k i -té rovnici se přičte c-násobek k-té rovnice; i -tá rovnice se vynásobí nenulovým prvkem c ∈ P; i -tá a k-tá rovnice se vzájemně vymění. Je dobře známo, že tyto manipulace nemění množinu řešení, a lze to snadno dokázat:
Rozeberme první elementární úpravu: Je-li s-tice (ξ1, . . . , ξs) řešením soustavy (∗), pak
a[i1]ξ[1] + a[i2]ξ[2] +  · · ·  + a[is] ξ[s] = b[i] pro každé i = 1, . . . , r , tedy i pro i = k. Víme, že i -tému
řádku upravené matice A odpovídá rovnice, která je součtem i -té a c-násobku k-té rovnice:
(a[i1] + ca[k1])x[1] + (a[i2] + ca[k2])x[2] +  · · ·  + (a[is] + ca[ks])x[s] = b[i] + cb[k] ,
Ta má ovšem totéž řešení (ξ1, . . . , ξs), protože
(a[i1] + ca[k1])ξ[1] + (a[i2] + ca[k2])ξ[2] +  · · ·  + (a[is] + ca[ks])ξ[s]= (a[i1]ξ[1] + a[i2]ξ[2] +  · · ·  + a[is] ξ[s]) + c · (a[k1]ξ[1] + a[k2]ξ[2] +  · ·  + a[ks] ξ[s])= bi + cb[k] .

Pozn.: v hranatých závorkách jsou indexy.

A tomuto důkazu prostě nerozumím.

Díky. Problém bude u mojí nedostatečný znalosti. Asi mám špatné základy a na těch se staví těžko.