Matematické Fórum

ajucha · 29. 05. 2011 19:43

Mám problém s příkladem řady: sum((-1)^n*arctgn)/x
můj postup:
1)nutná podmínka konvergence: lim arctgn/n=lim pí/(2n)=0 ->platí
2) pomocí srovnávacíhokritéria: b_n= 1/n (je vhodné pouzít 1/n nebo se ma pouzit neco jinyho?)
lim (arctgn/n)/(1/n)= lim arctgn=pi/2 coz je >0
b_n diverguje tedy celá 2)diverguje
3) musím dokázat, že to je nerostouci a s tím mám problém, poradíte mi??
já sem si udelala:
f(x)=arctgx/x
f´(x)=(x/(1+x^2)-arctgx)/(x^2) a co dál? nevím:(

OiBobik · 29. 05. 2011 19:58

↑ ajucha:

Nakonec musíš ukázat, že ta derivace bude od jistého x záporná (a tím pádem (arctg n)/n klesající).

Btw: to srovnání s tou harmonickou řadou je v pořádku, ale co jsi tím vlastně zjistila, je, že to nekonverguje absolutně. Jakmile se ti podaří ukázat, že od nějakého n ta posloupnost klesá, tak právě podle Leibnizova kritéria řada neabsolutně kovergovat bude. ; ))

ajucha · 29. 05. 2011 20:04

↑ OiBobik:
ano,to tak chapu,jen mi dela problem to dokazat, ze je kleajici...
nemohl bys mi to nejak rozepsat ten dukaz?

OiBobik

↑ ajucha:

$f(x)=\frac{\arctan x}{x} \\ f'(x)=\frac{\frac{x}{x^2+1}-\arctan x}{x^2}$

Tohleto už máš. Teď ti jde o to ukázat, že na nějakém intervalu $(x_0, \infty)$ je ta derivace záporná - tím pádem f(x) bude od takového $x_0$ zaručeně klesající a to je to, co chceme.

Všimni si, že jmenovatel derivace je zřejmě nezáporný (pro x<>0) - tedy stačí ukázat, že čitatel té derivace bude od nějakého x0 záporný.

Zde se nabízí, udělat to přes limitu čitatele:

$\lim_{x \to \infty}$\frac{x}{x^2+1}-\arctan x $= 0-\frac{\pi}{2}=-\frac{\pi}{2}$

Tedy od jistého $x_0$ onen výraz v čitateli derivace musí být záporný - kdyby ne, nemohla by jeho limita v nekonečnu být záporná - a tedy funkce je od jistého $x_0$ klesající a tedy (arctg n) / n je také od jistého $n_0$ klesající a to jsme chtěli ukázat.

BTW: obecně by se dalo řešit nerovnici "f'(x)<0" a když vyjde, že všechna x na nějakém intervalu (něco, +nekonečno) onu nerovnici splňují, konstatovat stejný závěr. Ovšem toto mi přijde o něco rychlejší a jednodušší.

ajucha · 29. 05. 2011 21:04

↑ OiBobik:
uz to chapu:)
a dalo by se to tky udelat takto?
podle (n+1) clenu, že
arctgn/n >= arctg(n+1)/(n+1)
(n+1) arctgn>=narctgn a udelam z arctg limity
(n+1) lim arctgn >= n*lim arctg(n+1)
(n+1)pi/2 >= n*pi/2
n*pi+pi >=n*pi
pi >= 0 a tim to je dokazane, je to tak ?

OiBobik

↑ ajucha:

To ne - nemůžeš si jen tak uprostřed nerovnice "zlimitit" nějaký výraz, jako by to byla ekvivalentní úprava nebo něco takového.

Kdyby se ti podařilo ukázat, že pro lib. přirozené n ta první nerovnost platí, tak to jo, ale takto ne.

Matematické Fórum

#1 29. 05. 2011 19:43

řady-Leibnizovo kritérium

#2 29. 05. 2011 19:58

Re: řady-Leibnizovo kritérium

#3 29. 05. 2011 20:04

Re: řady-Leibnizovo kritérium

#4 29. 05. 2011 20:21 — Editoval OiBobik (29. 05. 2011 20:24)

Re: řady-Leibnizovo kritérium

#5 29. 05. 2011 21:04

Re: řady-Leibnizovo kritérium

#6 29. 05. 2011 21:20 — Editoval OiBobik (29. 05. 2011 21:20)

Re: řady-Leibnizovo kritérium

Zápatí