Matematické Fórum

Billy · 30. 05. 2011 00:23 — Editoval Billy (30. 05. 2011 00:24)

Ahoj,

mohl by mi nekdo strucne vysvetlit proc ve vete:

Nechť $lim_{x\rightarrow a}f(x) > lim_{x\rightarrow a}g(x), a\in R^*$ potom $\exists P(a,\omega):f(x)>g(x) \forall x \in P(a,\omega)$
P-prstencove okoli

se nachazi ostra nerovnost? Kdyz podobne tvrzeni ale s opacnou implikaci obsahuje mensi rovno? Ja tam totiz zadny duvod, zeby tomu neco branilo nevidim.

Dik

OiBobik

↑ Billy:

Jinak ta věta skutečně vypadat nemůže.

Kdyby oboje byly neostré nerovnosti (taks to pravděpodobně myslel):

Protipříklad: $\lim_{x \to 0} x^4=0, \lim_{x \to 0} x^2=0 \rightarrow \lim_{x \to 0} x^4 \geq \lim_{x \to 0}x^2$ , avšak zároveň $\forall x \in (-1,0)\cup(0,1): x^4 < x^2$

když se nad tím zamyslíš, tak to by implikovalo, že pokud dvě funkce mají stejnou limitu v nějakém bodě, pak se na nějakém P-okolí toho bodu rovnají, což není pravda (jakto? pokud mají dvě funkce limitu v nějakém bodě stejnou, pak je pravda jak to, že $\lim f(x) \geq \lim g(x)$ , ale i $\lim g(x)\geq \lim f(x)$ , tedy podle oné verze věty s nerovnostmi musí na nějakém p-okolí bodu, v němž uvažujeme příslušné limity, platit $f(x)\geq g(x) \wedge g(x)\geq f(x) \rightarrow f(x)=g(x)$ , což neplatí, jak bylo ukázáno výše)

Jestlis to myslel takto:
$\lim f(x) \geq \lim g(x) \Rightarrow \exists \text{ P-okolí, tž.} \forall x \in P: f(x)>g(x)$ , to zase zřejmě nemůže platit už jen proto, že by sama funkce f(x) musela na nějakém P-okolí být větší než f(x), protože $\lim f(x) \geq \lim f(x)$ : ))

No a poslední způsob, jakýms to mohl myslet:
$\lim f(x) > \lim g(x) \Rightarrow \exists \text{ P-okolí, tž.} \forall x \in P: f(x)\geq g(x)$
to samozřejmě platí, ale to by bylo jen zeslabení věty - věta nám říká, že za onoho předpokladu je ta funkce s menší limitou na nějakém P-okolí menší, tedy rovnost vylučuje, kdežto my bychom ji zbytečně povolili.
(že rovnost nenastane, se snadno dokáže podobně, jako když se sporem dokazuje jednoznačnost limity - vezmu zkrátka tak malé epsilon, o kolik se funkční hodnoty mohou lišit od limit, že se tyto intervaly vůbec nepřekrývají, a na příslušných P-okolích limitního bodu musí být ta funkce s menší limitou ostře menší, než funkce s větší limitou.)

Billy · 30. 05. 2011 10:46

Dik, toto je blbuvzdorne odovodnenie ake som potreboval :)

Matematické Fórum

#1 30. 05. 2011 00:23 — Editoval Billy (30. 05. 2011 00:24)

Limita a uspořádání

#2 30. 05. 2011 00:34 — Editoval OiBobik (30. 05. 2011 00:58)

Re: Limita a uspořádání

#3 30. 05. 2011 10:46

Re: Limita a uspořádání

Zápatí