Matematické Fórum

Cumel89 · 28. 05. 2011 09:57

Prosím poraďte jak na to :-(

check_drummer · 28. 05. 2011 10:34

Víš co znamenají všechny ty symboly v textu a víš jak je "spočítat"?

Cumel89 · 30. 05. 2011 13:51

já nevím totiž jak zderivovat tu funkci u :-(

jelena · 30. 05. 2011 13:57

↑ Cumel89:

Jako derivaci podílu funkcí za případného využití nástrojů z úvodního tématu sekce VŠ.

Zdravím.

Rumburak

↑ Cumel89:
Zkusme postupovat malými krůčky. Ať již máme určit $u''_{xy}$ nebo $u''_{xx}$ , bude potřeba nejprve spočítat $u'_x$ ,
bavme se tedy přednostně o tom. Co zde není jasné ?

Cumel89 · 30. 05. 2011 14:12

↑ Rumburak:dobře zkusím to

Cumel89 · 30. 05. 2011 14:24

vyslo mi zatim e^(x+y)(zderivujeme)*xy - e^(x+y)(xy)(zderivujeme)/(xy)^2, ale dal nevim :-(

Cumel89 · 30. 05. 2011 14:43

↑ Cumel89: podle x

Rumburak

↑ Cumel89:
Začal jsi správně, je vidět, že vzorec pro derivaci podílu znáš.

EDIT: ale chtělo by to sprívně uzávorkovat:

(1) ( e^(x+y)(zderivujeme)*xy - e^(x+y)(xy)(zderivujeme) ) / (xy)^2 .

Teď je potřeba ty naznačené derivace dopočítat:

e^(x+y)(zderivujeme) = ??? , (xy)(zderivujeme) = ???

(připomeňme si, žev tomto kroku derivujeme podle x) a tyto výsledky dosadit na správná místa do (1)

e^(x+y)(zderivujeme)*xy - e^(x+y)(xy)(zderivujeme)/(xy)^2 .

Poznámka: Naši funkci u(x,y) můžeme vyjádřit ve tvaru u(x,y) = w(x)*w(y) , kde w(t) = (e^t) / t .
Timto se výpočty derivací poněkud zpřehlední.

Cumel89 · 30. 05. 2011 15:09

↑ Rumburak:uz mam skoro cely vysledek za moment poslu fotku

Cumel89 · 30. 05. 2011 15:16

je to dobře? a jak prosím dál?

Rumburak

↑ Cumel89:

Připadá mi, že je to správně. Můj postup:

Označíme $w(t) := \frac{{\mathrm e}^t}{t}$ a pak máme $w'(t) := \frac{{\mathrm e}^t t -{\mathrm e}^t}{t^2} = \frac{{\mathrm e}^t}{t}\left(1 - \frac{1}{t} \right) = w(t)\left(1 - \frac{1}{t} \right)$ , takže

$w''(t) := w'(t)\left(1 - \frac{1}{t} \right) + w(t)\left(1 - \frac{1}{t} \right)' = w(t)\left(1 - \frac{1}{t} \right)^2 + w(t)\, \frac{1}{t^2} = w(t)\left(1 - \frac{2}{t} + \frac{2}{t^2} \right)$ ,

pro $u(x,y) := w(x)w(y)$ tedy bude

$u''_{xx}(x,y) := w''(x)w(y) = w(x)\left(1 - \frac{2}{x} + \frac{2}{x^2} \right)w(y) = u(x,y)\left(1 - \frac{2}{x} + \frac{2}{x^2} \right)$ ,

obdobně

$u''_{xy}(x,y) := w'(x)w'(y) = w(x)\left(1 - \frac{1}{x} \right) w(y)\left(1 - \frac{1}{y} \right) = u(x,y)\left(1 - \frac{1}{x} - \frac{1}{y} +\frac{1}{xy} \right)$ .

Zbývá jen upravit ten závěrečný zlomek.