Matematické Fórum

Frantik88 · 08. 06. 2008 13:37

Body A′,B′,C′ , které leží v jedné třetině od vrcholů rovnostranného trojúhelníku ABC , určují rovnostranný trojúhelník. Poměr obsahů trojúhelníků ABC a A′B′C′ je?

:-X uph, zase nevím, tupý jsem :D..

jelena · 08. 06. 2008 14:18

↑ Frantik88:

No tak, dej si caj nebo bez se projit :-)

V puvodnim trojuhelniku oznacis stranu a, uhly 60 stupnu.

Pote, co jsi nakreslil strany noveho trojuhelniku, mas "uvnitr" hledany rovnostranny a "odsekavas" takove male trojiuhelniky se stranami 1/3a, 2/3a, uhlem mezi stranami 60 stupnu. Hledas stranu x - proti uhlu 60 stupnu. Tedy kosinova veta.

Mozna to pujde i jinak, ale ted nemam jiny napad (nejaka podobnost nebo co)

OK?

Cipis · 08. 06. 2008 14:28 — Editoval Cipis (08. 06. 2008 14:41)

Pro obsah S rovnostranného trojúhelníku o straně x platí:
$S=x^{2}\cdot sin 60/2$
Protože trojúhelník A'B'C´má strany x/3 pak obsah S' tohoto rojúhelníka bude:

$S'=x/3\cdot x/3\cdot sin60/2\nlS'=x^{2}\cdot sin60/18$

Poměr obsahů trojúhelníků bude:
$S/S'=x^{2}\cdot sin 60/2/x^{2}\cdot sin60/18\nlS/S'=9:1$

Frantik88 · 08. 06. 2008 14:36

Jj, pochopil i odvodil :-)... 3:1

Cipis · 08. 06. 2008 14:40

Koukám, že já jsem to ale vůbec nepochopil a za svůj předchozí "matoucí" příspěvek se tazateli hluboce omlouvám

Cipis · 08. 06. 2008 14:47 — Editoval Cipis (08. 06. 2008 14:47)

↑ Frantik88:

Máš pravdu ten poměr je opravdu 3:1 (počítal jsem to znovu a vyšlo mě to co tobě)
Ještě jednou se omlouvám

Frantik88 · 08. 06. 2008 14:48

:-) V pořádku, nic se neděje...

Kablik · 08. 06. 2008 15:40 — Editoval Kablik (08. 06. 2008 15:44)

Zdravim....Potřebuju poradit jak vypočítám délku kruhového oblouku. Pokud znám pouze délku tětivy 4,5 m a vzdálenost od tětivy k "vrcholu" kruhové úseče 1 m...Dekuju Kablik

Cipis · 08. 06. 2008 17:13

1. Musíme určit poloměr kružnice, ze které je ten oblouk vytvořen
Označme : r - poloměr kružnice
t - délka tětivy (4,5 m)
v - výška tětivy (1 m)
Pak musí platit:
$(r-1)^{2}+(t/2)^{2}=r^{2}\nlr^{2}-2r+1+t^{2}/4=r^{2}\nlr=(t^{2}+4)/8$
Dosadíme za t délku tětivy a určíme poloměr r
$r=(4,5^{2}+4)/8\nlr=3,03125$

2. Pro délku oblouku d platí vztah:
$d=2\pi\cdot r\cdot\alpha/360$
kde $\alpha$ je středový úhel, který vytíná oblouk
Vypočítáme úhel $\alpha/2$
Platí:
$sin(\alpha/2)=t/2r\nlsin(\alpha/2)=4,5/6,0625\nlsin(\alpha/2)=0,742268\nl\alpha/2=47,925\circ$
$\alpha=95.85$ stupňů

Teď už můžeme dosadit do vztahu:
$d=2\pi\cdot r\cdot\alpha/360$
$d=2\cdot 3,14\cdot 3,03125\cdot 95,85/360\nld\approx 5,07 m$

Délka oblouku je přibližně 5.07 metrů