Matematické Fórum

ravien · 22. 05. 2011 13:38

Ahoj, mohl by mi prosim nekdo vysvetlit, jak se pocita Jordanova matice, kdyz mam ruzna vlastni cisla?
Na cviceni jsme delali jenom pro n-nasobne jedno cislo, ale pak v pisemce jsme meli priklad kdy byla matice 3*3, vysly 2 vlastni cisla, jedno bylo s nasobnosti dva.

Dekuju moc.

lukaszh · 30. 05. 2011 21:33

↑ ravien:

Jordanov tvar sa týka prípadu násobného vlastného čísla. V prípade rôznych vlastných čísel je Jordanov tvar vlastne diagonalizácia.

$AV=DV\Rightarrow A=V^{-1}DV$

kde D je diagonálna

$D_{ii}=\lambda_i$

pre $\lambda_i$ vlastné čísla a stĺpce $V$ tvoria vlastné vektory matice $A$ . Pri Jordanovom tvare nastáva problém s tým, že nemožno spraviť inverziu k $V$ , nakoľko sú vlastné vektory môžu byť lineárne závislé -> singulárna matica -> nemáme inverziu. Treba určiť inú bázu $M$ takú, že

$AM=JM$

kde tvar $J$ sa určuje na základe tebe známych pravidiel.

Geronimo

Jordanuv kanonicky tvar (JKT) je blokove diagonalni a sklada se z Jordanovych bunek.

Jordanova bunka je matice kxk tvaru
$J_k(\lambda)= \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda \end{pmatrix}$

JKT ma tolik bunek, kolik cini soucet geometrickych nasobnosti vlastnich cisel.

JKT ma na diagonale vlastni cisla kazde tolikrat, kolik cini jeho algebraicka nasobnost.

Velikost nejvetsi bunky pro vlastni cislo $\lambda$ je nejmensi k takove, ze
$\text{hodnost}(A-\lambda E)^k=u-\text{algebraicka nasobnost} \lambda$ kde u je dimenze vektoroveho prostoru.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

K tvemu dotazu:

Spocitas si vlastni cisla a k nim prislusne vlastni vektory. Z techto udaju jiz vyctes algebraickou i geometrickou nasobnost.

Vlastni cislo $\lambda_1$ bude na diagonale tolikrat, jaka je jeho algebraicka nasobnost a bude rozdelena do tolika bunek, jaka je jeho geometricka nasobnost.

Napr. pro $\lambda_1 = 2$ alg.nas.=3, geom. nas = 2

$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

Matice je dana jednoznacne az na poradi bunek.

Takto to udelas pro vsechny $\lambda$

Velikost bunek zjistis podle delky retezce.

Matematické Fórum

#1 22. 05. 2011 13:38

Jordanova matice

#2 30. 05. 2011 21:33

Re: Jordanova matice

#3 31. 05. 2011 00:53 — Editoval Geronimo (31. 05. 2011 01:14)

Re: Jordanova matice

Zápatí