Matematické Fórum

Petrys · 31. 05. 2011 13:13

jak přijít na tohle?

Koule má poloměr 0,3 m. Kolikrát větší je objem koule s dvojnásobným poloměrem?
A) devětkrát
B) osmkrát
C) šestkrát
D) třikrát
E) méně než třikrát

správná odpověď je B)

Phate · 31. 05. 2011 13:15

objem koule je $\frac43 \pi r^3$ , zkus si tam dosadis 0.3 a 0.6 metru a porovnat

miminko.alidgy · 31. 05. 2011 13:17

↑ Petrys:
já to počítala podle S=pí*r na druhou...nejdřím s poloměrem 0,3 a pak 0,6 (protože 0,3 se zdvojnásobí)....výsledky jsem od sebe odečetla a následně vynásobila 2, čímž jsem získala průměr kružnice :) Vyšlo mi to tak, ale nevím, zda je postup přesný :)

Petrys · 31. 05. 2011 13:18

jojojo díky moc, mám to

Phate · 31. 05. 2011 13:23

↑ miminko.alidgy:
Tvuj postup nejak vubec nepocita s kouli, ale s kruznici, mozna si ho jen spatne interpretuji, ale vysledek jsi tam zakouzlila teda pekne.

musixx · 31. 05. 2011 13:33 — Editoval musixx (31. 05. 2011 13:36)

↑ Phate: ↑ miminko.alidgy: Abych to objasnil. Tím vynásobením dvěma miminko.alidgy nepřešla od poloměru k průměru, jak deklaruje, ale aplikovala znova faktor zvětšení objektu, který je shodou okolností také 2 (tj. 0.6/0.3).

Ono totiž platí, že když se lineární rozměry (všechny délky) objektu zvětší $k$ -krát, pak se jakékoli plochy na něm zvětší $k^2$ -krát, jakékoli objemy $k^3$ -krát, atd.

Honzc · 31. 05. 2011 13:36 — Editoval Honzc (31. 05. 2011 14:00)

↑ Petrys:
Postup s počítáním je takový otrocký.
Zkusíme se zamyslet obecně.
1. Máme vyjádřit poměr nějakých čísel (objemů koulí)
2. Vzoreček pro objem koule $\frac43 \pi r^3$ obsahuje nějaké konstanty ( $\frac43 \pi$ ) a jednu proměnnou $r$ (ve třetí mocnině)
3. Protože děláme poměr čísel (objemů) a vzoreček má vždy ty konstanty stejné (jinak by to nebyly konstanty), tak
se nám v tom poměru vždycky vykrátí. (takže jsou pro naše úvahy nepodstatné).
4. V poměru budou tedy důležité poloměry koulí.
5. Zkusíme si tedy napsat $\frac{r_2^3}{r_1^3}$
6. Co víme o poloměrech $r_1,r_2$ . No přeci to, že $r_2=2r_1$
7. Dosadíme si to do poměru $p=\frac{r_2^3}{r_1^3}=\frac{(2r_1)^3}{r_1^3}=\frac{2^3r_1^3}{r_1^3}$ a po vykrácení $r_1^3$ dostaneme
pro poměr objemů $p=2^3=8$
Jak vidíš, abychom mohli odpovědět, dokonce nepotřebujeme znát ani číselnou hodnotu poloměrů (pouze jejich poměr)

miminko.alidgy · 31. 05. 2011 13:41

↑ Phate:
Já mám báječnou vlastnost, že mi příklady vycháží, i když je počítám úúúúplně blbě, proto jsem ráda, že si to tu tímto způsobem mohu opravit a dalé už počítat správně. (Toto je jeden z mnoooooooha příkladů, který mi vyšel i přes blbý výpočet) :D
Děkuji tedy za opravu :)

Anonymystik

↑ miminko.alidgy: Dá se to zobecnit na všechny dvojice geometricky podobných těles v prostoru, jakými jsou samozřejmě mimo jiné i dvojice koulí. Obecně zvětším-li (3-rozměrné) těleso k-krát, tak se jeho povrch zvětší k^2-krát a objem se zvětší k^3-krát. Platí to i třeba pro krychli, hranol, jehlan, elipsoid, válec, kvádr, kužel, dvanáctistěn, .... co tě jen napadne. Klíčové je to, že se útvar zvětší proporcionálně všechny své rozměry, což u koule je samozřejmě splněno, neboť ta je dána pouze svým poloměrem (resp. průměrem, je to jedno).

Honzc · 01. 06. 2011 06:20

↑ Anonymystik:
Proč to panu kolegovi vysvětluješ znovu, když už mu to stejně vysvětlil v příspěvku #6 ↑ musixx:

Matematické Fórum

#1 31. 05. 2011 13:13

poloměry koule?

#2 31. 05. 2011 13:15

Re: poloměry koule?

#3 31. 05. 2011 13:17

Re: poloměry koule?

#4 31. 05. 2011 13:18

Re: poloměry koule?

#5 31. 05. 2011 13:23

Re: poloměry koule?

#6 31. 05. 2011 13:33 — Editoval musixx (31. 05. 2011 13:36)

Re: poloměry koule?

#7 31. 05. 2011 13:36 — Editoval Honzc (31. 05. 2011 14:00)

Re: poloměry koule?

#8 31. 05. 2011 13:41

Re: poloměry koule?

#9 31. 05. 2011 18:00 — Editoval Anonymystik (31. 05. 2011 18:05)

Re: poloměry koule?

#10 01. 06. 2011 06:20

Re: poloměry koule?

Zápatí