Matematické Fórum

Napiseme si zbytky, ktere davaji po rade nulta,prvni, druha,.... mocniny sedmicky po deleni deviti. Je to
1,7,4,1,7,4,...
vidime, ze se opakuji s periodou 3 a proto nas zajima, jaky zbytek dava 8^9^10^...^99^100 po deleni 3. Stejny trik: mocniny 8ky po deleni 3 davaji zbytky
1,2,1,2,1,2...
zalezi nam proto na zbytku 9^10^...^99^100  po deleni 2. Ten je 1 (liche cislo).
Proto 8^9^10^...^99^100 davalo zbytek 2 po deleni 3 a 7^8^9^10^...^99^100 davalo zbyek 4 po deleni 9.

Uplne stejne jako u toho 7^8^9^10^...^99^100. Proste postupne delim mocniny osmicky tremi a vsimnu si, ze se mi opakuji zbytky.

Aha. No predstav si, jak to cislo 7^8^9^10^...^99^100 vypada. To je vlastne moc moc moc moc sedmicek vynasobnych mezi sebou. Takze ja vlastne potrebuju urcit zbytek po deleni cisla 7 x 7 x 7 x 7 x ..... x 7 cislem 9. Kdyz zkousim ruzne mocniny sedmicek delit deviti, zjistim, ze existuji jen tri mozne zbytky, ktere se opakuji 1, 7, 4, 1, 7, 4 .... Ted uz tedy nepotrebuju vedet, kolik je 7 x 7 x 7 x 7 x ..... x 7 ale staci mi vedet, jaky bude zbytek, kdyz POCET tech sedmicek videlim tremi (protoze zbytky se opakuji s periodou tri).

No a kolik je tam teda tech sedmicek? No prece 8^9^10^...^99^100. Cili ted staci vedet, jaky je zbytek pri deleni cisla 8^9^10^...^99^100 cislem 3.

Jak mam jistotu, ze to funguje? No pokud by clovek chtel byt precizni, tak by musel dokazat, za skutecne plati, ze se ty zbytky takto opakuji. Ten dukaz je ale dost jednoduchy. Muzes ho sam zkusit vymyslet a napsat ho sem. Jen tak pro poradek....