Matematické Fórum

xMravenecek

Ahoj,
snažím se vyřešit prozatím dva příklady. Jeden je imho elementární, jen jsem se u něj trochu zasekl, druhý je složitější.

Tedy první úloha:
Nalezněte součet řady bez použití kritérií konvergence:
$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{n-1}{n!}}$

Vím, že $\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{n-1}{n!}}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{(n-1)!}}-\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n!}}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}}-\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n!}}=e-\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n!}}$

Jen právě tedy nevím, jak sečíst tu druhou řadu. Vím jen, že její součet je e-1 a tedy výsledný součet původní řady je 1.

Druhá úloha zní:
Určete součet řady v závislosti na parametrech p,q:

$\sum_{n=2}^{\infty}{ln{\frac{n^p-1}{n^q}}}$

Předem díky!

maly_kaja_hajnejch-Lazov

mozna jednoduseji: $\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}}-\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n!}}=\frac{1}{0!}$

a odpoved na vas dotaz: $\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n!}}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}}-\frac{1}{0!}=\cdots$

xMravenecek · 23. 04. 2011 19:30

↑ maly_kaja_hajnejch-Lazov:
Super díky, to mi vůbec nedošlo, celej den počítám, že už mi jde hlava kolem :-)

Pavel · 23. 04. 2011 20:01

↑ xMravenecek:

Pokud jde o řadu $\sum_{n=2}^{\infty}{\ln{\frac{n^p-1}{n^q}}}$ , předpokládejme, že p,q jsou nezáporná reálná čísla. Stačí ukázat, že pro $p\neq q$ není splněna nutná podmínka konvergence nekonečné řady. Pro p=q lze nekonečnou řadu transformovat na nekonečný součin, tzn.

$\sum_{n=2}^{\infty}{\ln{\frac{n^p-1}{n^p}}}=\ln\prod_{n=2}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n^p}\right)$ .

Součin je konvergentní pro $p>1$ , vzorce pro jeho vyjádření v explicitním tvaru jsou zde

http://mathworld.wolfram.com/InfiniteProduct.html

vzorec 20.

xMravenecek · 24. 04. 2011 18:44

↑ Pavel:
Abych řekl pravdu, takhle rozvinutý aparát matematické analýzy asi ještě nemám, jde to třeba nějak vyřešit bez pomoci nekonečného součinu? K dispozici mám v podstatě nástroje v podobě limitních verzí srovnávacího, podílového, odmocninového kritéria, součty geometrických a teleskopických posloupností (zde jde tuším o teleskopickou, ne?). Jen si právě nevím rady jak na ty dva parametry (bohužel se ku mě dostalo zadání jen přepsané, tedy nevím jistě, z jakého číselného oboru jsou p,q, ale předpokládám, že z R), respektive součet v závislosti na jednom parametru jsme ve škole dělali snad právě jen u geometrických posloupností.

Pavel · 24. 04. 2011 23:09

↑ xMravenecek:

Obávám se, že zde o teleskopickou řadu nejde. A určit součet v závislosti na reálných parametrech p a q lze jen v jejich speciálních hodnotách. A navíc to není jednoduchého, určitě to nepatří do základního kursu mat. analýzy.

xMravenecek · 25. 04. 2011 23:13

↑ Pavel:

Já si právě říkám, že je to nějaké složité. Ještě zkusím zjistit, zda se ku mě nedostalo jen nějaké špatně napsané zadání, ale obávám se, že ne.

Marian · 26. 04. 2011 12:21

↑ xMravenecek:

Musím s Pavlem souhlasit. Součet diskutované řady nic elementárního to není (vyžaduje v obecném případě definic funkce Gamma, nejlépe v komplexním oboru).

Co se týče konvergence (viz ↑ Pavel:), je možné dokázat celou věc ještě jinak, totiž za pomocí odhadu logaritmu. Vyhneme se tak nekonečnému součinu a diskusi o jeho konvergenci (ovšem není to zde nic těžkého).

xMravenecek · 27. 04. 2011 23:56

↑ Marian:
Díky za komentář.
Tento příklad se totiž objevil ve jednom testu a předcházel mu ještě obdobný příklad, který měl p=q=2 a opět se mělo rozhodnout o konvergenci či absolutní konvergenci řady a určit součet prvních deseti členů. Říkal jsem si, že tento příklad tam dali, abychom si vyzkoušeli, jak se řada chová pro p=q=2 a že z toho asi pak nějak vykoukáme i ten obecný případ. Abych se přiznal, nevím si ani rady s řadou s p=q=2, natož pak s tímto. Nějaký nápad tedy na ten odhad? Přijde mi, že asi nechtějí, aby tu školu někdo dodělal, když do závěrečného testu dají něco, o čem se nám ani nikdy nezmínili...

xMravenecek · 28. 04. 2011 13:52

Tak jsem trochu pokročil. Když si vezmu řadu
$\sum_{n=2}^{\infty}{ln{\frac{n^2-1}{n^2}}}$ ,
tak ji mohu upravit následovně (nutná podmínka konvergence je splněna, má tedy smysl pokračovat dál):
$\sum_{n=2}^{\infty}{ln{\frac{n^2-1}{n^2}}}=\sum_{n=2}^{\infty}{ln(n-1)-2lnn+ln(n+1)}$

Na tuto řadu mi byla doporučena metoda, u které bohužel nevím název, ale je to něco ve smyslu koeficientů a funkčních hodnot v bodech a např. u řad s polynomem ve jmenovateli ji lze použít místo rozkladu na parciální zlomky (výsledek je ovšem stejný). Tedy:

(omlouvám se za použití matice místo tabulky, TeX už jsem nějaký ten pátek nepoužíval).
Z toho pak mohu vytvořit následující limitu, která bude udávat součet řady:
$\lim_{k\to\infty}\ln(2-1)-ln(2)+0ln(2+1)+0ln(k-1)-lnk+ln(k+1)=\lim_{k\to\infty}\ln1-ln2-lnk+ln(k+1)=\lim_{k\to\infty}\-ln2+ln{\frac{k+1}{k}}=-ln2$
tedy řada má součet a tím pádem konverguje (jen neumím rozhodnout, zda absolutně či neabsolutně). Nevíte, jak se tato metoda nazývá? Lze k výsledku dojít i jinak?

Na obecnější případ s parametry p,q jsem chtěl jít obdobně, nakonec mě ale napadl jiný postup.
Aby řada $\sum_{n=2}^{\infty}{ln{\frac{n^p-1}{n^q}}}$ konvergovala, musí splňovat nutnou podmínku konvergence, tedy $\lim_{n\to\infty}\ln{\frac{n^p-1}{n^q}}=0$ . Toho docílíme tehdy, když $\ln{\frac{n^p-1}{n^q}}=ln1$ , tedy $\lim_{n\to\infty}{\frac{n^p-1}{n^q}}=1$ . To bude tedy očividně splněno pro $p=q; p,q \in \mathbb R^+$ . Pak to tedy pro tento případ musím ověřit, dle ekvivalence $ln(1+x)\simeq x$ u 0 mohu tuto řadu srovnat s řadou $\sum{\frac{-1}{n^p}}$ , o které víme, že konverguje absolutně pro $p>1$ .
Mám tedy výsledek, že řada konverguje absolutně, když $p=q; p \in (1,\infty)$ . Jenže jsou tu i další kombinace čísel p,q (p=q obě záporné, p>q obě kladná nebo obě záporná nebo jedno kladné a druhé záporné, p=q=0, p=0 a q lib., q=0 a p lib., p<q obě kladná nebo obě záporná, nebo jedno kladné a druhé záporné), je jich tuším celkem včech dohromady asi 15. Je možné tyto možnosti nějak velmi snadno a rychle vyloučit, nebo musím pro každý případ ukázat, že není splněna nutná podmínka konvergence (většinou vychází, že buď nemá smysl kvůli omezenému definičnímu oboru logaritmu, nebo je $\pm\infty$ ..? Šílená úloha... :-)