Matematické Fórum

sacad · 08. 06. 2008 18:19 — Editoval sacad (08. 06. 2008 18:22)

Zdravím vás...

Nejsem si jistý jedním příkladem a proto sem píšu...
Pro $x\ne0$ je funkce f dána předpisem
$f(x) = \frac{1-\sqrt[3]cos x}{2x^2}$
Ukažte, že funkci f lze v bodě 0 dodefinovat tak, aby byla spojitá.
(Užijte definici spojitosti funkce v bodě.)

Podle mě to nejde dodefinovat protože když si sestrojím graf tehle funkce tak nikdy neprotne osu y...
A podle definice spojitosti funkce bodu mi to taky nejde... ale možná jí jen špatně používám...
Prosím pomozte...

Olin · 08. 06. 2008 18:38

Stačí ukázat, že existuje limita
$\lim_{x \to 0} f(x)$

že je vlastní a že je stejná zprava i zleva. Lze to určit dvojitým použitím l'Hospitalova pravidla (možná i nějak jednodušeji?) a výsledkem je 1/12.

Funkci pak můžeme definovat následovně:
$f(x) = \begin{cases} \frac{1-\sqrt[3]cos x}{2x^2} & \text{pro}\, x \neq 0 \nl \frac{1}{12} & \text{pro}\, x = 0 \end{cases}$
přičemž potom je funkce spojitá.

Saturday · 08. 06. 2008 18:40

↑ sacad:

Funkce f je definovaná na: R \ {0}

Pokud se limita zleva v bode nula rovna limite zprava v bode nula, pak muzes hodnotou teto limity dospojitit funkci:

$\lim \limits_{x \to 0} = \frac{1-\sqrt[3]cos x}{2x^2} = \frac{1}{12}$

Kdyz si porovnas definice spojitosti a limity, tak uvidis, ze jsou temer identicke a ze ma-li funkce v nejakem bode limitu, je v nem i spojita.

Něco je o tom zde: http://cs.wikipedia.org/wiki/Spojit%C3%A1_funkce

Omlouvám se, pokud jsem někde udělal chybu, zvláš? si dohledej tu větu o vztahu limity a spojitosti, mohou tam byt ještě nějaké předpoklady.

EDIT: tak me Olin predbehl, treba ti pomuze srovnani dvou pohledu :)

sacad · 08. 06. 2008 18:48

Díky za bleskovou reakci... :)
Hned to jdu zkusit...

Matematické Fórum

#1 08. 06. 2008 18:19 — Editoval sacad (08. 06. 2008 18:22)

Dodefinování spojitosti funkce v bodě 0

#2 08. 06. 2008 18:38

Re: Dodefinování spojitosti funkce v bodě 0

#3 08. 06. 2008 18:40

Re: Dodefinování spojitosti funkce v bodě 0

#4 08. 06. 2008 18:48

Re: Dodefinování spojitosti funkce v bodě 0

Zápatí