Matematické Fórum

↑ morava:

Nejdená se o diferenciální rovnici, ale o diferenční rovnici; to je jistě zásadní rozdíl.

Řešení takových rovnic je extrémně snadné po tom, co se přečte pozorně přednáška na téma lineárních diferenčních rovnic s konsantními koeficenty. Doporučuji pravou stranu zapsat jako . Nejprve se vyřeší homogenní rovnice, tj. rovnice . Jejím obecným řešením je předpis , jak plyne z tvaru kořene charakteristické rovnice. Obecné řešení potom hledáme třeba pomocí metody odhadu tvaru řešení (viz podrobněji přednáška). Hledáme totiž obecné řešení ve tvaru , kde pro člen použijeme odhad závisející na pravé straně původní diferenční rovnice, tj. na tvaru předpisu . Bude (bez podrobností) , tj. , kde je nějaká konstanta. Nyní stačí dosadit do původní rovnice:



Proto obecné řešení diferenční rovnice má tvar

.




Vzhledem k tomu, že jsem danou úlohu zadal osobně, dovolil jsem si pro případnou třetí stranu této diskuse zrychlit tempo v příspěvku pomocí poznámek s odvoláním na běžná a zcela základní fakta obsažená v přednášce. Taktéž mě tlačí čas. Ovšem jsou to fakta zcela jasná a nepředpokládám nejasnosti ani u méně nebo jinak informované příapdné třetí strany.

Dále vzhledem k tomu, že byla žádána pomoc, tak jsem ji poskytnul. Celé řešení jsem zde nemohl (viz pravidla fóra) a ani nechtěl vypisovat. Doufám, že pomoc je dostatečná a že se případně můj student dotáže v případě nejasností mě osobně nebo zde kolegů na fóru, ovšem s vlastní dávkou participace.