Matematické Fórum

Frankie33 · 01. 06. 2011 19:33

Dobrý den,

tady tento přispěvek zde dávám, jelikož sedím nad tímhle problémem hodinu a vím, že rozhodně ho nevyřeším. A na konec je to moje poslední záchrana o dobrou známku :)

Problem zní: Že máme dokázat pomocí "nějaké" rovnice, že uděláme tolik přímek přes sebe, aby se ten rovine co nejvíce rozdělila.

Omlouvám se, pokud se to bude zdát nejasné, ale tak nějak sem to pochopil a opsal od učitele. Děkuji

Anonymystik

↑ Frankie33: V nultém kroku máš 1 část roviny. Každým krokem přidáváš jednu přímku, která přidá jednu novou část roviny sama za sebe + 1 část za každou přímku, kterou protne. V n-tém kroku protne (n-1) přímek, takže máme (n-1) + 1 = n nových částí. Označme P(n) počet částí po n-tém kroku, přičemž zřejmě P(0) = 1 (po 0 krocích máme 0 přímek, takže rovina není rozdělená, je celistvá => má 1 část). Potom P(n) = P(n-1) + n. Když tedy budu chtít spočítat řekněme P(5), tak budu počítat takto: P(5) = P(4) + 5 = P(3) + 4 + 5 =[P(2) + 3 + 4 + 5 = P(1) + 2 + 3 + 4 + 5 = P(0) + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 1 + (1 + 2 + 3 + 4 + 5). Součet v závorce jde zkrátit jako (n^2 + n) / 2, když dosadíme n=5. Takže celý vzorec bude P(n) = (1/2)*n^2 + (1/2)*n + 1, přičemž rekurentní vzorec je P(n) = P(n-1) + n, P(0) = 1. Matematickou indukcí snadno můžeš dokázat, že vzorec skutečně platí.

Frankie33 · 01. 06. 2011 20:01

↑ Anonymystik: Mockrát děkuji! :) Snad se zítra zadaří.

standyk

↑ Frankie33:

1 priamka .................. 2 časti
2 priamky .................. 4 časti
3 priamky .................. 7 častí
4 priamky .................. 11 častí

Toto som sa dozvedel z nákresu (štvorec a rozdeliť ho priamkami na čo najviac častí). Zovšeobecniť sa ten počet častí dá nasledovne:
$p=\frac{n*\left(n+1\right)}{2}+1$

Zápis pre matematickú indukciu by mohol byť:
$2+2+3+4+5+6+\dots+n=\frac{n*\left(n+1\right)}{2}+1$

Jediný problém vidím v tom že tá postupnosť nieje "pekná" , aritmetická keďže rozdiel medzi prvým a druhým členom je nula ale nemal by to byť hádam problém.

Potom už jednoducho matematickou indukciou dokážeš platnosť pre nasledujúci člen:
$2+2+3+4+5+6+\dots+n+\color{red}n+1\color{black}=\frac{\left(\color{red}n+1\color{black}\right)*\left(\color{red}n+2\color{black}\right)}{2}+1$

Carlosini · 21. 06. 2011 21:04

Zdravím, má problém s příkladem: 3|(4^k+5) , nevíte někdo, jak na to? Díky předem

BakyX · 21. 06. 2011 21:21

↑ Carlosini:

Ahoj..Napíš to do novej témy a prečítaj si pravidlá :) Hodia sa tam, kde platia..Čiže tu

Matematické Fórum

#1 01. 06. 2011 19:33

Matematická indukce - domácí úkol o 1!

#2 01. 06. 2011 19:56 — Editoval Anonymystik (01. 06. 2011 19:59)

Re: Matematická indukce - domácí úkol o 1!

#3 01. 06. 2011 20:01

Re: Matematická indukce - domácí úkol o 1!

#4 01. 06. 2011 20:07 — Editoval standyk (02. 06. 2011 00:00)

Re: Matematická indukce - domácí úkol o 1!

#5 21. 06. 2011 21:04

Re: Matematická indukce - domácí úkol o 1!

#6 21. 06. 2011 21:21

Re: Matematická indukce - domácí úkol o 1!

Zápatí