Matematické Fórum

Zdravím, mám problém s gaussovou kvadraturou. S problematikou obecně jsem seznámen, jen mám potíž s jedním krokem, a to s nalezením uzlů.

Mám za to, že východiskem je stanovení počtu uzlů. Podle toho je sestaven polynom stupně n, kde n je počet uzlů. Pro příklad stanovme 3 uzly. Charakteristický polynom by pak měl mít tvar:



Polynom pak postupně násobíme jednoduchými polynomy (?), a to 1, x, x^2. Vzniká soustava 3 rovnic (počet odpovídající počtu uzlů). Z předem zadané podmínky vyplývá, že jde o ortogonální polynomy, a proto jsou všechny rovny nule.



Pro zjednodušení řešení uvážíme, že c0 a c2 jsou rovny nule. Nyní začíná nejistota - pro polynomy lichého stupně (v našem případě stupně 3 a 5 - které vznikly ze součinu s polynomi 1 a x^2), které integrujeme na intervalu 1 a -1 platí, že jsou totožné, a proto je při řešení neuvažujeme (?). Pak zbývá jen



Ten už jsem schopen dál řešit, tedy najít jedno z jeho řešení, dosadit do původního polynomu stupně 3, najít jeho kořeny a dál řešit nezbytné váhy, které jsou již poslední hledanou veličinou.

Pro stupeň 3 jsem schopen najít řešení, ale nevím, jak najít řešení pro 4,5 a více uzlů. Už pro 4 uzly vznikají dvě rovnice, které je třeba integrovat. Podle toho, co jsem slyšel, bych měl opět zvolit dva koeficienty "c" rovny nule. Jenže nevím, jak ze dvou rovnic získat řešení. Zkoušel jsem rovnice zintegrovat a sečíst, abych dostal jen jednu, a pro ní stanovil jedno z možných řešení. Mate mě ale, že se ve výsledku nezvýší počet kořenů - to vypadá na chybu. U pěti uzlů pak vznikají imaginární kořeny, což by také nastat nemělo.

Kdo se s tím setkal, pomozte prosím. Už nevím kudy, vyučující pomoct nechce. Přikládám studijní materiál, ze kterého to nejsem schopný vykoukat. Děkuju moc všem za snahu....