Matematické Fórum

Jurol · 03. 06. 2011 14:55

Zdravím, trochu sa hram s nerovnostami, nie je mi jasné ako vyriešiť túto $(x+y+z)^2 >= 3(x\sqrt {yz} + y\sqrt {xz} + z\sqrt {xy})$
po roznasobení a upraveni tej druhej mocniny mi vychadzaju veci ktore neviem ako previesť na sčítanie AG nerovností, ktorými by sa tato uloha mala dať riešiť... dalej som rozmyslal že vyjmem $\sqrt {xyz}$ z pravej strany ale nemam pocit ze by to bol velmi dobry napad...za pomoc dakujem

(je to z tadeto - odkaz v kapitole scitanie AG nerovnsoti príklad iv.. a rada poskytnutá tam mi tiež velmi nepomohla )

Olin · 03. 06. 2011 15:10

A zvládl bys dokázat tyto dvě nerovnosti?

$x^2 + y^2 + z^2 \geq x \sqrt{yz} + y \sqrt{xz} + z \sqrt{xy}$

$xy + yz + xz \geq x \sqrt{yz} + y \sqrt{xz} + z \sqrt{xy}$

Jurol · 03. 06. 2011 15:43 — Editoval Jurol (05. 06. 2011 13:42)

jasné to už zvladam
1. nerovnost
$2x^2+y^2+z^2\geq 4x\sqrt{yz} \\ x^2+2y^2+z^2\geq 4y\sqrt{xz} \\ x^2+y^2+2z^2\geq 4z\sqrt{xy}$

všetky tri sú AG nerovnosti, po sčítaní a vydelení 4 dostanem to čo som chcel.

2. nerovnosť
$xy+xz\geq 2x\sqrt{yz}\\ xy+yz \geq 2y\sqrt{xz}\\ xz+yz \geq 2z\sqrt{xy}$

spravím to isté ako vyššie...malo by to byť dobre, nie ?

edit: Zabudol som poďakovať, takže dakujem :)

Olin · 03. 06. 2011 16:44

Jasně, je to dobře. Ještě poznamenám, že první nerovnost plyne z druhé, jelikož (opět AG)
$x^2 + y^2 + z^2 \geq xy + xz + yz$ .

Matematické Fórum

#1 03. 06. 2011 14:55

AG nerovnosti

#2 03. 06. 2011 15:10

Re: AG nerovnosti

#3 03. 06. 2011 15:43 — Editoval Jurol (05. 06. 2011 13:42)

Re: AG nerovnosti

#4 03. 06. 2011 16:44

Re: AG nerovnosti

Zápatí