Matematické Fórum

drabi · 04. 06. 2011 20:15 — Editoval drabi (04. 06. 2011 23:00)

ahoj,
potřebovala bych pomoc s těmito příklady:

(1)
Nechť $a_n > 1; n = 1, 2, \ldots$
Uvažujme výroky
(V1)
$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{a_n \ln(n+2)} < \infty$
(V2)
$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{a_n \ln(a_n)} < \infty$
Platí obecně
(a) (V 1) $\Rightarrow$ (V 2)?
(b) (V 2) $\Rightarrow$ (V 1)?

zkoušela jsem to dostat přes limitní srovnávací kritérium, ale nikam jsem se nepohla.
Nikdy jsem podobné příklady neřešila, pokud můžete poskztnout nějaký hint budu moc ráda :)

druhý příklad:
(2)
Nechť $1 > b_1 > b_2 > \ldots > 0$
Uvažujme výroky
(V1)
$\arccos b_n \rightarrow \frac{\pi}{2}; n \rightarrow \infty$
(V2)
$\sum_{n=1}^\infty \arccos^2\left(\frac{b_{n+1}}{b_n}\right) < \infty$
Platí obecně
(a) (V 1) $\Rightarrow$ (V 2)?
(b) (V 2) $\Rightarrow$ (V 1)?

opět jsem k ničemu významnému nedošla.
vím jen, že $\lim_{n \rightarrow \infty} \arccos^2\left(\frac{b_{n+1}}{b_n}\right) = 0 \Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{b_{n+1}}{b_n} = 1$

s-o-k-o-l · 04. 06. 2011 22:54

U toho prvního příkladu: an = n^n, pak to bude konvergovat jak pro 1) případ tak pro 2) případ

drabi · 04. 06. 2011 22:57

↑ drabi:
zkouším se v tom trochu šťourat a u prvního příkladu jsem došla k následujícímu:
pokud $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{a_n \ln(n+2)} < \infty$ , potom $a_n = n \ln^{\alpha}(n+2); \alpha>0$ , takže, pokud to převedu do druhého výroku:
$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{a_n \ln(a_n)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n \ln^{\alpha}(n+2) \ln(n \ln^{\alpha}(n))}$ , leč tato řad diverguje, takže tato implikace neplatí

u druhé implikace uvažuju takto:
pokud $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{a_n \ln(a_n)} < \infty$ , potom $a_n = n^\alpha; \alpha>1$ , pak tedy:
$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{a_n \ln(a_n)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha \alpha \ln(n)} < \infty$
$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{a_n \ln(n + 2)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha \ln(n + 2)} < \infty$ například díky limitnímu srovnávacímu kritériu

mohl by mi prosím někdo říct, jestli uvažuju správně?
Děkuju mnohokrát

drabi · 04. 06. 2011 22:58

↑ s-o-k-o-l:
jde o to, zda to funguje obecně či nikoliv, ne pro konkrétní příklad :(

Hitchs · 04. 06. 2011 23:42

k tomu druhému:
máme posloupnost b_n ostře klesající, shora omezenou 1, zdola omezenou 0 a musí konvergovat k 0, aby byla splněna V1.
co třeba taková q^n, 0<q<1 ? platí, že konverguje k 0, a je omezená zdola 0 a shora 1 a arccos b_n konverguje k Pi/2.. OK.
V1 je zřejmě splněna..
jak jsi uvedla, b_(n+1)/b_n musí konvergovat k 1, aby byla splněna Nutná podmínka konvergence řady..
jenže pro posloupnost q^n platí: b_(n+1)/b_n = q != 1, čili obecně z V1 neplyne V2.. [doufám, že jsem se v něčem nepřehlédl :)]

drabi · 04. 06. 2011 23:49

↑ Hitchs:
super díky moc :)

Hitchs · 05. 06. 2011 00:48

k druhé části druhého příklad ještě mě něco napadlo:
chceme splnit V2, tedy najít takovou b_n, aby řada konvergovala.. otázkou je, jestli konvergence té řady zaručuje platnost výroku (V1), tj. že b_n konverguje k 0..
jde o to, aby celý výraz v sumě "vhodně" konvergoval k 0, k tomu zde obecně potřebujeme "dobrou" konvergenci výrazu b_(n+1)/b_n k 1 a k tomu obecně není nutné, aby b_n konvergovala k 0..
příkladem může být vhodně zvolená posloupnost, např. b_n = 1/(n+2) + 1/2, b_n splňuje předpoklady v omezenosti a ostrém klesání a řada za použití této posloupnosti konverguje (lze ověřit i Wolframem), tedy V2 je splněna a zároveň b_n konverguje k 1/2 != 0, tedy existuje posloupnost taková, že V2 platí a V1 ne :)

drabi · 05. 06. 2011 13:53

↑ Hitchs:
super:) děkuju moc

Matematické Fórum

#1 04. 06. 2011 20:15 — Editoval drabi (04. 06. 2011 23:00)

konvergence řad, výroky

#2 04. 06. 2011 22:54

Re: konvergence řad, výroky

#3 04. 06. 2011 22:57

Re: konvergence řad, výroky

#4 04. 06. 2011 22:58

Re: konvergence řad, výroky

#5 04. 06. 2011 23:42

Re: konvergence řad, výroky

#6 04. 06. 2011 23:49

Re: konvergence řad, výroky

#7 05. 06. 2011 00:48

Re: konvergence řad, výroky

#8 05. 06. 2011 13:53

Re: konvergence řad, výroky

Zápatí