Matematické Fórum

drabi · 05. 06. 2011 00:21

ahoj,
nejsem si moc jistá tímto příkladem:

Nechť $f$ je spojitá na $[0, \infty)$ a nechť $f(x) - \sqrt{x} \ln(x) = o(\arctan(x)), x \rightarrow \infty$
musí být $f$ stejnoměrně spojitá?

tak, za zadání plyne:
$\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{f(x) - \sqrt{x} \ln(x)}{\arctan(x)} = 0$
a jelikož $\lim_{x \rightarrow \infty} \arctan(x) = \frac{\pi}{2} \Rightarrow \lim_{x \rightarrow \infty}{f(x) - \sqrt{x} \ln(x)} = 0$
potom tedy nemusí platit, že $\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = L \in (0, \infty)$

tedy nemůžu použít větu o tom, že pokud je $f$ spojitá na $[0, \infty)$ a $\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = L \in (0, \infty)$ , pak $f$ je stejnoměrně spojitá

tak mě napadá, že bychom mohli za $f(x) = \sqrt{x} \ln(x)$ a ta pokud není stenoměrně spojitá (což bohužel nevím) nám dá protipříklad

nevíte prosím někdo, jak s tím hnout?
Díky moc

Stýv · 05. 06. 2011 13:35

myslim, že to platí, a dokazoval bych to z definice stejnoměrný spojitosti - pro daný $\varepsilon$ bych hledal $\delta$ tak, že...

drabi · 05. 06. 2011 14:08

↑ Stýv:
moc nevím jak to napasovat na tu $f$ , mohl bys mě trochu nakopnout?
díky

Stýv · 05. 06. 2011 19:18

existuje $x_0$ tak, že na $(x_0,\infty)$ je $|f(x) - \sqrt{x} \ln(x)|$ malý. najdeš vhodný $\delta_1$ na $[0,x_0]$ a $\delta_2$ na $(x_0,\infty)$ a vybereš to menší z nich

Matematické Fórum

#1 05. 06. 2011 00:21

stejnoměrná spojitost

#2 05. 06. 2011 13:35

Re: stejnoměrná spojitost

#3 05. 06. 2011 14:08

Re: stejnoměrná spojitost

#4 05. 06. 2011 19:18

Re: stejnoměrná spojitost

Zápatí