Matematické Fórum

pololilo · 05. 06. 2011 17:29

Ahoj lidi, tohle jsem našel ve starých přijímačkách a dá to docela zabrat. Jak se to má upravit?

Je to jiný příklad, než ten, co je tady na fóru.

Phate · 05. 06. 2011 17:35

chce to Moiverovu vetu :)

pololilo · 05. 06. 2011 17:42

↑ Phate:

Moiverovu větu?

Phate · 05. 06. 2011 17:45

↑ pololilo:
Moivreovu vetu. Plati, ze $z=|z| \cdot ( \cos \alpha + i \sin \alpha)$ a Moivreova veta rika, ze $z^n=|z^n| \cdot ( \cos n\alpha + i \sin n\alpha)$

pololilo · 05. 06. 2011 17:50

↑ Phate:

Kolik to vyšla absolutní hodnota? Mě v ní vyšlo ,,-'' v odmocnině :(

Phate · 05. 06. 2011 18:10

↑ pololilo:
Me vysla 2, $|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(-1)^2+(\sqrt3)^2}=\sqrt4=2$

pololilo · 05. 06. 2011 19:12

↑ Phate:

Vyšlo mi po dosazení 2^31[cos(-1)+isin(3^1/3)]
Co je na tom špatně?

standyk · 05. 06. 2011 19:37

↑ pololilo:

Nesprávne si previedol to komplexné číslo do goniometrického tvaru:
$z=a+bi$
$z=|z| \cdot ( \cos \alpha + i \sin \alpha)$
Argument komplexného čísla musí byť rovnaký. V goniometrickom tvare vystupuje iba jeden uhol : a to $\alpha$ Ono nestačí len dosadiť čísla $a$ $b$ ako argument v goniometrickom tvare.
Na vyjadrenie použi toto:
$\cos{\alpha}=\frac{a}{|z|}$ $\cos{\alpha}=\color{red}\frac{-1}{2}\color{black}$
$\sin{\alpha}=\frac{b}{|z|}$ $\sin{\alpha}=\color{red}\frac{\sqrt{3}}{2}\color{black}$
Z toho vypočítaš konkrétny uhol pre ktorý platia tieto dve rovnosti:
$\alpha = 120^o = \frac{2}{3}{\pi}$
Z toho dostávaš:
$z=2 \cdot ( \cos \frac{2}{3}{\pi} + i \sin \frac{2}{3}{\pi})$
Pokračuj Moivrovou vetou:
$z^{\color{blue}31\color{black}}=2^{\color{blue}31\color{black}} \cdot ( \cos \color{blue}31\color{black} \cdot \frac{2}{3}{\pi} + i \sin \color{blue}31\color{black} \cdot \frac{2}{3}{\pi})$
$\cdots$
zvyšok už dopočítaj