Matematické Fórum

derata · 01. 06. 2011 17:38

Ahoj

Narazil jsem na problém když počítám extrémy funkce. Běžné příklady kde mám kvadratickou rovnici mi nedělají problém.
Ale jak se řeší příklady kde je sinx. Například tedkom řeším: sin^2(x) - 2010

Když postupuju jako vždycky tak si udělám derivaci a pak mám už problém s určením nulovch bodů. Napsal by mi někdo nějaký tutoriál?

jelena · 01. 06. 2011 18:52

↑ derata:

Zdravím,

potom je to řešení rovnice "derivace"=0 (nezapomenout na hodnoty x, ve kterých derivace neexistuje).

V čem je konkrétně problém? Děkuji.

derata · 06. 06. 2011 16:45

Prosím o kontrolu příkladu:

5 * cos^2(x )

Min v bodě [pi+kpi; f(pi+kpi)]
Max v bodě [pi/2+kpi; f(pi/2+kpi)]

Je to spravně?

Můžu extremy řešit tak že si nakreslím graf a z toho to poznám nebo jak jinak to vyřešit u sin a cos?

Jenda358

↑ derata:
$f(x)=\sin^2{x}-2010$
$f'(x)=2\cdot \sin{x} \cdot \cos{x}$
$2\cdot \sin{x} \cdot \cos{x}=0$
$\sin{x} \cdot \cos{x}=0$
Dořešením této rovnice najdeš stacionární body.

derata · 06. 06. 2011 18:20

↑ Jenda358:

Získám tedy kpí a pi/2+kpí ??

Jenda358 · 06. 06. 2011 18:48

↑ derata:
Ano.

derata · 06. 06. 2011 19:09

↑ Jenda358:

takže je asi blbost to řešit tak že si nakreslím gram teda jo? a jak potom vypadá správný zápis? minimum je v bodě: ....... ?? protože samotná hodnota není bod přece

Jenda358 · 06. 06. 2011 19:23

↑ derata:
Graf nepoužívej. Když vyřešíš tu rovnici co jsem napsal v příspěvku #4, získáš všechna x z definičního oboru taková, že f(x) je buď minimální nebo maximální (nebo tam extrém vůbec není). To jestli je to minimum nebo maximum zjistíš druhou derivací.
Když se někdo např. zeptá kde je minimum funkce $y=10+x^2$ , odpověď je "v bodě nula" ne deset.
Je to stejné jako když se někdo zeptá, kde je nejvyšší hora Čech. Správná odpověď je v Krkonoších, ne 1602 metrů.

Jenda358

↑ derata:
Máš to prohozené.
Minimum je v bodech (pi/2+k*pi) maximum je v bodech (pi+k*pi).
Mimochodem místo (pi+k*pi) stačí psát k*pi.

derata · 07. 06. 2011 00:24

↑ Jenda358:

Takže vlatně to 5* sin^2(x) nebo 5+ sin^2(x) nemá na vysledek vliv...

Jenda358 · 07. 06. 2011 09:02

↑ derata:
Ve smyslu polohy lokálních extrémů ne, jen v jejich hodnotách.

derata · 07. 06. 2011 14:25

↑ Jenda358:

Ještě k tomu předchozímu: Je-li f''(Xo) < 0 , má funkce v bodě xo ostré lokální maximum. Pro pi/2 to je -2 takže to nemám naopak ne?

No a když si chcu udělat extrémy

f(x)= sinx

První derivace je cosx

mám rovnici cosx=0
x=pi/2

Dosadím si do druhé derivace -sinx a zjístím že pi/2+2kpi je maximum
Mám jeden stacionární bod tak jak určím min?

Jenda358

↑ derata:
K tomu předchozímu.

$f(x)=5 \cdot \cos^2{x}$
$f'(x)=-5 \cdot \sin{2x}$
$f''(x)=-10 \cdot \cos{2x}$
$f''(\frac{\pi}{2})=10$

Jenda358 · 07. 06. 2011 15:13

↑ derata:
$f(x)= \sin{x}$
$f'(x)= \cos{x}$
$\cos{x}=0$
Tato rovnice má kromě řešení $\frac{\pi}{2}+2k\pi$
také řešení $\frac{3\pi}{2}+2k\pi$

derata · 07. 06. 2011 15:58

↑ Jenda358:

Sorry za ten první měls pravdu.

No u toho $f'(x)= \cos{x}$ mě napadlo ten kořen může být i těch $\frac{3\pi}{2}+2k\pi$

Ale jak pak mám poznat že tady taky není jeden z kořenu 3pi/2 to taky vyjde 0 ta rovnice $2\cdot \sin{x} \cdot \cos{x}=0$

Už nevím co mám ještě přečíst za knížku abych pochopil ty sin a cos.

Jenda358 · 07. 06. 2011 19:49

↑ derata:
Teď jsem moc nepochopil na co se ptáš. Co s tím má společného rovnice $2\cdot \sin{x} \cdot \cos{x}=0$ ?
Zkrátka řešením rovnice $\cos{x}=0$
je $\frac{\pi}{2}+2k\pi$ a $\frac{3\pi}{2}+2k\pi$
Druhá derivace v bodech $\frac{\pi}{2}+2k\pi$ je záporná, takže je tam maximum
a druhá derivace v bodech $\frac{3\pi}{2}+2k\pi$ je kladná, takže je tam maximum.

derata · 07. 06. 2011 20:20

↑ Jenda358:

No přece když do rovnice $2\cdot \sin{x} \cdot \cos{x}=0$ dosadím 3pi/2 tak je taky rovna nule. Jak vím že u teto rovnice je kořen jenom pi a pi/2? Protože je rovnice jenom nad osou x?

Nevíš o nějakém přehledném materiálu zaměřenem na sin a cos?

jelena · 07. 06. 2011 22:39

↑ derata:

Zdravím a děkuji kolegovi ↑ Jenda358:, že se problému ujal.

Pro Tebe mám prosbu - v tématu je třeba řešit jen jednu úlohu. Pro další úlohu si máš založit nové téma. Momentálně zde máš:

$f(x)=\sin^2(x) - 2010$
$h(x)=5 \cos^2(x )$
$g(h)=\sin x$
$k(x)=5\sin^2(x)$
$m(x)=5+\sin^2(x)$

Je třeba si ujasnit, co konkrétně v postupu je problém - zřejmě řešení goniometrických rovnic. Potom je dobré projít si úvod do problému (nebo nebo tak). Potom si založit téma v sekci SŠ s názvem "Goniometrická rovnice".

Jelikož v tématu se nedá vyznat, toto téma označím za vyřešené, pokračuj, prosím v sekci SŠ. Děkuji.

Matematické Fórum

#1 01. 06. 2011 17:38

extremy funkce se sin a cos

#2 01. 06. 2011 18:52

Re: extremy funkce se sin a cos

#3 06. 06. 2011 16:45

Re: extremy funkce se sin a cos

#4 06. 06. 2011 17:25 — Editoval Jenda358 (06. 06. 2011 17:26)

Re: extremy funkce se sin a cos

#5 06. 06. 2011 18:20

Re: extremy funkce se sin a cos

#6 06. 06. 2011 18:48

Re: extremy funkce se sin a cos

#7 06. 06. 2011 19:09

Re: extremy funkce se sin a cos

#8 06. 06. 2011 19:23

Re: extremy funkce se sin a cos

#9 06. 06. 2011 19:31 — Editoval Jenda358 (06. 06. 2011 19:33)

Re: extremy funkce se sin a cos

#10 07. 06. 2011 00:24

Re: extremy funkce se sin a cos

#11 07. 06. 2011 09:02

Re: extremy funkce se sin a cos

#12 07. 06. 2011 14:25

Re: extremy funkce se sin a cos

#13 07. 06. 2011 15:08 — Editoval Jenda358 (07. 06. 2011 15:09)

Re: extremy funkce se sin a cos

#14 07. 06. 2011 15:13

Re: extremy funkce se sin a cos

#15 07. 06. 2011 15:58

Re: extremy funkce se sin a cos

#16 07. 06. 2011 19:49

Re: extremy funkce se sin a cos

#17 07. 06. 2011 20:20

Re: extremy funkce se sin a cos

#18 07. 06. 2011 22:39

Re: extremy funkce se sin a cos

Zápatí