Matematické Fórum

Lekejs · 07. 06. 2011 11:35

ahoj všichni..
Potřebuji moct s komplexním číslem...
Nechápu jak se dostanu ke vzorci v červeném kroužku....
Vůbec si vlastně nevím s celím příkladem..

děkuji moc za pomoc...

Rumburak · 07. 06. 2011 11:40

Předchozí zlomek byl rozšířen číslem 2 - i .

Cheop · 07. 06. 2011 11:41 — Editoval Cheop (07. 06. 2011 11:44)

↑ Lekejs:
Vynásobíš původní komplexní číslo výrazem: $\frac{2-i}{2-i}$ - tím se to číslo nezmění, ale zbavíš se i ve jmenovateli zlomku
Jistě víš, že $i^2=-1\\-i^2=1$

Lekejs · 07. 06. 2011 11:52

↑ Cheop:
a Proč to vynásobím zrovna tímhle zlomkem??
$\frac{2-i}{2-i}$

Phate · 07. 06. 2011 11:54 — Editoval Phate (07. 06. 2011 11:54)

↑ Lekejs:
potrebujes se zbavit vsech $i$ ve jmenovateli, protoze jinak nedokazes urcit realnou cast od imaginarni.

found · 07. 06. 2011 12:04

Lekejs napsal(a):
↑ Cheop:
a Proč to vynásobím zrovna tímhle zlomkem??
$\frac{2-i}{2-i}$

Je to podobné, jako když rozšiřuješ zlomek, abys dostal ze jmenovatele odmocninu. Tady se snažíš dostat pryč i. A právě díky vztahu $i^2 = -1$ můžeš zlomek "rozšířit" tak, že ho vynásobíš takovým číslem, aby ve jmenovateli vznikl součin odpovídající pravidlům:

$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$

Když ti dám nějaký příklad, tak...

$\frac{i-1}{i+3} = \frac{i-1}{i+3} * \frac{i-3}{i-3} = \frac{(i-1)(i-3)}{(i+3)(i-3)} = \frac{i^2-4i+3}{i^2-3^2} = \frac{-4i+2}{-10} = \frac{4i-2}{10} = \frac{2}{5}i - \frac{1}{5}$

Snad to pomůže osvětlit kompletně tvůj problém. :-)

Cheop · 07. 06. 2011 12:09 — Editoval Cheop (07. 06. 2011 12:49)

↑ Lekejs:
Úpravou jsme tedy dospěli ke komplexnímu číslu:
$z=-1+i$ - toto komplexní číslo převedem na goniometrický tvar. Platí:
$z=a+b\,i$
$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$
$z=|z|(\cos\,\varphi+i\,\sin\,\varphi)$
Pro náš případ:
$|z|=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt 2$
Dále platí:
$\cos\,\varphi=\frac{a}{|z|}\\\sin\,\varphi=\frac{b}{|z|}$
$\cos\,\varph=-\frac{1}{\sqrt 2}\\\sin\,\varphi=\frac{1}{\sqrt 2}$
Hledaný úhel leží ve druhém kvadrantu kde je funkce sinus kladná a funkce kosinus záporná.
Úhel má velikost:
$\varphi=\frac{3\pi}{4}=135^\circ$
Komplexní číslo v goniometrickém tvaru bude:
$z=-1+i=\sqrt 2\left[\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)+i\,\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right]$

Lekejs · 07. 06. 2011 12:26

a ten argument vypočítám jak??
$\varphi=\frac{3\pi}{4}=135^\circ$

Dana1 · 07. 06. 2011 12:39

↑ Lekejs:

Určíš hodnotu uhla v prvom kvadrante (tabuľková hodnota).

Podľa znamienok sinusu a kosínusu vyberieš kvadrant, podľa neho vyberieš základný výsledný uhol.

Phate · 07. 06. 2011 12:43

↑ Lekejs:
Pokud to jsou nejaka hnusna cisla, tak pocitas odchylku vektoru $(x,y)$ a $(1,0)$ , kde x je realna slozka z a y imaginarni.

Lekejs · 07. 06. 2011 12:55

děkuji vám moc už sem si to dal do hromady a funguje mi to..
děkuji moc za pomoc..

Matematické Fórum

#1 07. 06. 2011 11:35

komplexní čísla

#2 07. 06. 2011 11:40

Re: komplexní čísla

#3 07. 06. 2011 11:41 — Editoval Cheop (07. 06. 2011 11:44)

Re: komplexní čísla

#4 07. 06. 2011 11:52

Re: komplexní čísla

#5 07. 06. 2011 11:54 — Editoval Phate (07. 06. 2011 11:54)

Re: komplexní čísla

#6 07. 06. 2011 12:04

Re: komplexní čísla

Lekejs napsal(a):

#7 07. 06. 2011 12:09 — Editoval Cheop (07. 06. 2011 12:49)

Re: komplexní čísla

#8 07. 06. 2011 12:26

Re: komplexní čísla

#9 07. 06. 2011 12:39

Re: komplexní čísla

#10 07. 06. 2011 12:43

Re: komplexní čísla

#11 07. 06. 2011 12:55

Re: komplexní čísla

Zápatí