Matematické Fórum

S tou konvergencí na hranici konvergenčního kruhu asi neporadím, jen chci upozornit, že Abelova věta není kriteriem konvergence
v krajním bodě, ale ze předpokladu této konvergence cosi říká - m. j. o součtové funkci. Lze ji tedy v některých případech použít maximálně
na vyvrácení doměnky o takové konvergenci, nikoliv na důkaz konvergence.

↑ lepion:

Vyšetřuje se velmi podobně. I zde platí v jistém slova smyslu Abelova věta. Doporučuji přečíst knížku

Konrad Knopp. Infinite Sequences and Series. Dover Publications.

V kapitole 4.2 je Theorem 6 (Abel's Limit Theorem), kde je situace vyložena s limitním přiblížení ve smyslu "radial approach", de facto pohyb po úsečce.

Naproti tomu, v knize Therorie und Anwendungen der unendlichen Reihen téhož autora (existuje i anglický překlad, ovšem ten nevychází z nejnovějšího vydání německého originálu, proto uvádím německou verzi) je uvedena tzv. zobecněná Abelova věta (Satz 232, strana 419, šesté vydání z roku 1964), že ta původní Abelova věta platí také v případě, že se k oboru konvergence neblížíme po úsečce, nýbrž libovolně k bodu na hranici, ovšem v jistém úhlu (tj. prostoru v Gaußově komplexní rovině omezeného polopřímkami se společným bodem nímž je právě bod, k němuž se blížíme a současně uvnitř kruhu konvergence). Předvedený důkaz v uvedené knize je původně Otta Stolze z roku 1875 (někteří čtenáři jistě znají famózní Stolzovu větu, diskrétní analogon l'Hospitalova pravidla). Kompletní a vyčerpávající přehled výsledků k roku 1920 o teorii Abelovy věty lze potom nalézt v článku

G.H. Hardy, J.E. Littlewood. Abel's Theorem and its Converse. Proc. London Math. Soc. (2), strany 205-235.

Článek bohužel neznám, protože se blíže o tuto věc nezajímám. Někde jsem ale četl poznámku (možná je to v knize Tibora Šaláta, Nekonečné rady - momentálně ji u sebe nemám), že jistému polskému matematikovi se podařilo nejít příklad takové potenční řady, kdy v nekonečně mnoha bodech kružnice konvergence potenční řada konverguje a současně v nekonečně mnoha bodech kružnice konvergence tatáž potenční řada diverguje. Svědčí to o tom, že poměry na hranici konvergence mohou být velmi rozličné a zajímavé.

Snad někdo upřesní informaci z Šalátovy vynikající knihy.