Matematické Fórum

Kadet · 07. 06. 2011 12:16

Ahoj,
potřeboval bych pomoc s dif. rcemi se sep. proměnnými. Dokážu se dostat do fáze, kdy zintegruji obě strany rce (tj integruji $\frac{dy}{g(y)}=h(x)$ ) a dál nevím, co s tím.

Př:

$y'=\frac{1}{x}(y^2-y)$
1. definicni obor h(x) je (-inf,0) a (0,inf)
2. singularni reseni g(y) jsou 0,1
3. g je spojita a nenulova na (-inf,0), (0,1) a (1,inf)
4. $\int \frac{dy}{y^2-y}=\int \frac{1}{x}$
5. dostavam $log (\frac{|1-y|}{|y|})=log|x| + c$
vyjadrim $y=\frac{1}{xc_1+1}$ , kde $c_1 \neq 0$

a nevim, co ted s tim dal?

diky za pomoc!
K

lukaszh · 07. 06. 2011 17:11

↑ Kadet:

Hotovo, vyriešil si si to sám. Niekedy sa udávajú aj okrajové podmienky. Ak je úloha zadaná takto

$y'=h(x)g(y)\,,\;y(x_0)=y_0.$

h,g sú definované na otvorených podmnožinách R, tak možno nájsť partikulárne riešenie z tebou nájdeného všeobecného riešenia

$y=\frac{1}{1+Cx}.$

Nevidím veľmi dôvod na podmienku nenulovosti pre C. Riešením pôvodnej rovnice je totiž aj y(x) = 1. V inom prípade sa konštanta C dopočíta z okrajovej podmienky

$y_0=\frac{1}{1+Cx_0}\;\longrightarrow\;C=\frac{1-y_0}{x_0y_0}.$

Veľa šťastia !

Matematické Fórum

#1 07. 06. 2011 12:16

Diferenciální rce se separovanými proměnnými

#2 07. 06. 2011 17:11

Re: Diferenciální rce se separovanými proměnnými

Zápatí