Matematické Fórum

stenly · 06. 06. 2011 13:18

Prosím o radu při vyšetření absolutních extrémů fce x^2+(y+4)^2 omezenou podmínkou (x-6)^2+(y-2)^2 -1=0.Děkuji za radu či vyřešení úlohy.

Rumburak · 07. 06. 2011 09:14

Je to úloha na hledání extrému s vazbou metodu Lagrangeova multiplikátoru. Hledej na webu pšíslušná témata, podrobný výklad určitě najdeš.

Alivendes · 07. 06. 2011 10:25

Zdravím :)
Máme podmínku:
$(x-6)^2+(y-2)^2 -1=0$
$(y-2)^2=1-(x-6)^2$
$(y-2)=\sqrt{1-(x-6)^2}$
$y=\sqrt{1-(x-6)^2}+2$

Tohle dosadíme do původní funkce:
$f(x,y)=x^2+(y+4)^2$
$f(x)=x^2+[\sqrt{1-(x-6)^2}+2+4]^2$
Zkus upravit, zderivovat, a položit rovno nule.

Rumburak

↑ Alivendes:
I touto cestou je možno postupovat, ale neměli bychom zapomenout na alternativní případ $(y-2)=-\sqrt{1-(x-6)^2}$ .

Alivendes · 07. 06. 2011 17:10

↑ Rumburak:
:) pravda
Já to nedopočítal, ale asi to bude lepší počítat přes Leangreangův miltiplikátor, nevím jestlit tam vyjde něco, co se dá dopočítat.
Ať si kolega vybere, jakou cestou se vydá.

Marian · 07. 06. 2011 17:48 — Editoval Marian (07. 06. 2011 17:59)

↑ Alivendes:↑ Rumburak:

A nejen na tento případ. Často se stává, že extrém je právě v bodě, kde se oba kousky křivky (zde vazební kružnice) setkávají (původní a "alternativní", i když na něm nic alternativního není, tj. je stejně alternativní jako ten první ke druhému).

Ještě lepší metodou výpočtu, než je celkem spolehlivá metoda Lagrangeova je, že zapíšeme vazební rovnici pomocí parametrických rovnic s proměnnou $t$ . Vzhledem k tomu, že se jedná o kružnici, není to nejmenší problém. Parametrické rovnice $x=x(t)$ , $y=y(t)$ dosadíme do zadané funkce, tj. obecně $f^\star (x,y)=f(x(t),y(t))$ a dostáváne tak funkci jediné proměnné. Stačí se omezit v našem případě jistě na takové lokální extrémy funkce $\varphi (t):=f(x(t),y(t))$ , kde $t\in [0,2\pi )$ .

Toto je patrně nejjednodušší cesta, navíc je stoprocentně úspěšná, což se o Lagrangeově metodě řící nedá.

Rumburak · 08. 06. 2011 10:32

↑ Marian:
Děkuji za cenné doplnění a nápad s parametrisací křivky.

Když při rozvětvení úlohy na "alternativy" nastává extrém v bodě, v němž se oba oblouky křivky spojují, pak máme šanci odhalit ho jakožto
extrém v krajním bodě intervalu, takže pečlivému řešiteli by asi neunikl.

PS. "Alternativním" jsem neměl na mysli "druhořadé". :-)

Matematické Fórum

#1 06. 06. 2011 13:18

Absolutní extrémy

#2 07. 06. 2011 09:14

Re: Absolutní extrémy

#3 07. 06. 2011 10:25

Re: Absolutní extrémy

#4 07. 06. 2011 10:57 — Editoval Rumburak (07. 06. 2011 10:57)

Re: Absolutní extrémy

#5 07. 06. 2011 17:10

Re: Absolutní extrémy

#6 07. 06. 2011 17:48 — Editoval Marian (07. 06. 2011 17:59)

Re: Absolutní extrémy

#7 08. 06. 2011 10:32

Re: Absolutní extrémy

Zápatí